4^a Questão: Encontre a reta tangente à curva (4 x^2-2 xx^2)^2 no ponto P=(1,4)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y=l(4x^2-2xx^2r)^2
no ponto P=(1,4). O conteúdo envolvido é derivada de funções e a fórmula da reta tangente, que usa o declive f'(x0) e o ponto (x0,y0).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão de y. Note que
4x^2-2xx^2 =x(4x-2)x^2 =4x-2x =4-2x
Logo podemos reescrever
y=l(4-2xr)^2

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de
f(x)=l(4-2xr)^2
Pela regra da cadeia,
f'(x) =2l(4-2xr)cdotddxl(4-2xr) =2l(4-2xr)cdot2x^2 =4,4-tfrac2xx^2

Passo 4

O declive da tangente em x=1 é
f'(1) =4,4-tfrac211^2 =4cdot(4-2) =4cdot2 =8

Passo 5

Usamos a fórmula da reta tangente em (x0,y0)=(1,4):
y - y0 = f'(x0),(x - x0)
y - 4 = 8,(x - 1)
y = 8x -8 +4
y = 8x -4

Resposta

A reta tangente é y = 8x - 4.

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