Resolver os seguintes problemas de valores iniciais usando séries de potências.
l(1+x) y^prime prime(x)+2 y^prime(x)=0 ; y(1)=2 ; y^prime(1)=-1 ; centro: x0=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências centradas em x0=1, o problema de valor inicial
(1+x),y''(x)+2,y'(x)=0, y(1)=2, y'(1)=-1
O conteúdo é método de série de potências: vamos fazer a troca de variável t=x-1, assumir
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n,
e determinar os an via recorrência.

Passo 2

Com t=x-1 temos 1+x=2+t. Calculamos
y'(t)=sumn=1^inftyn,an,t^n-1, y''(t)=sumn=2^inftyn(n-1),an,t^n-2
Substituindo em (2+t)y'' + 2y'=0 e reagrupando potências de t
2sumn=2^inftyn(n-1)an,t^n-2 +sumn=2^inftyn(n-1)an,t^n-1 +2sumn=1^inftyn,an,t^n-1=0
Ao reindexar cada soma em potências t^k chegamos à condição para todo k>=0:
2(k+2)(k+1)ak+2+(k+2),ak+1=0 ;;Longrightarrow;; ak+2=-tfrac12,ak+1

Passo 3

A recorrência é
an=-tfrac12,an-1, n>=2
Isso implica, para n>=1,
an=(-tfrac12)^,n-1a1
Logo
y(t)=a0+sumn=1^infty(-tfrac12)^,n-1a1,t^n =a0+a1sumn=1^infty(-tfrac12)^,n-1t^n

Passo 4

A soma é série geométrica com razão -t/2:
sumn=1^infty(-tfrac12)^,n-1t^n =tsumk=0^inftyl(-tfrac t2r)^k =t1+tfrac t2 =2t2+t
Então
y(t)=a0+2a1,t2+t
Voltando a x, t=x-1 e 2+t=x+1, temos
y(x)=a0+2a1,x-1x+1
Das condições iniciais em x=1:
y(1)=a0=2, y'(x)=4a1(x+1)^2, y'(1)=a1=-1

Resposta

y(x)=2-2,x-1x+1 =4x+1

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