Resolver os seguintes problemas de valores iniciais usando séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por séries de potências centradas em
, o problema de valor inicial
O conteúdo é método de série de potências: vamos fazer a troca de variável
, assumir
e determinar os
via recorrência.
Passo 2
Com
temos
. Calculamos
Substituindo em
e reagrupando potências de
dá
Ao reindexar cada soma em potências
chegamos à condição para todo
:
Passo 3
A recorrência é
Isso implica, para
,
Logo
Passo 4
A soma é série geométrica com razão
:
Então
Voltando a
,
e
, temos
Das condições iniciais em
: