Questão 1- Encontre a solução geral da EDO abaixo usando o método de fatores integrantes.
y^prime-3 y=6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo $ y’ - 3y = 6 $. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos fatores integrantes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da nossa equação. Ela está no formato padrão:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, $ P(x) = -3 $ e $ Q(x) = 6 $. O método dos fatores integrantes nos ajuda a resolver esse tipo de equação transformando-a em uma forma que seja fácil de integrar.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos na equação para torná-la exata. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -3 $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-3xy' - 3e^-3xy = 6e^-3x
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto $ \mu(x)y $:
mu(x)y
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
ddx( e^-3xy ) = 6e^-3x

Passo 6

A integral do lado esquerdo simplesmente retorna $ e^{-3x}y $. Para o lado direito, integramos:
e^-3xy
Então, temos:
integral 6e^-3x , dx = 6 cdot ( -13e^-3x ) + C = -2e^-3x + C

Passo 7

Para isolar $ y $, multiplicamos ambos os lados por $ e^{3x} $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = -2 + C e^3x
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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