Questão 1- Encontre a solução geral da EDO abaixo usando o método de fatores integrantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo $ y’ - 3y = 6 $. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos fatores integrantes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da nossa equação. Ela está no formato padrão:
No nosso caso, $ P(x) = -3 $ e $ Q(x) = 6 $. O método dos fatores integrantes nos ajuda a resolver esse tipo de equação transformando-a em uma forma que seja fácil de integrar.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos na equação para torná-la exata. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Substituindo $ P(x) = -3 $:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto $ \mu(x)y $:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 6
A integral do lado esquerdo simplesmente retorna $ e^{-3x}y $. Para o lado direito, integramos:
Então, temos:
Passo 7
Para isolar $ y $, multiplicamos ambos os lados por $ e^{3x} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.