Questão 3. Encontre uma solução geral para a equação diferencial
x y^{\prime \prime}+3 y=x
usando o Wrosnkiano.

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre uma solução geral para a equação diferencial
x y^{\prime\prime}+3 y=x
usando o Wronskiano."\n
Informações dadas e o que nos pedem:
  • A equação é de segunda ordem não homogênea, com coeficiente dependente de x.
  • Devemos fornecer a solução geral y(x) (solução geral = solução homogênea + uma solução particular).
  • É pedido explicitamente o uso do Wronskiano em algum ponto (veremos como usá‑lo para confirmar independência das soluções da homogênea e para calcular seu valor constante).
  • Assumimos x\neq0 ao dividir por x quando for necessário.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão dividindo por x (válido para x\neq0):
y^{\prime\prime}+\frac{3}{x}y=1.
A equação homogênea associada é
y^{\prime\prime}+\frac{3}{x}y=0.
Antes de resolver a homogênea, tento achar uma solução particular da equação completa por tentativa direta: como o termo à direita é polinomial ( 1, visto depois de dividir por x), tento uma solução particular polinomial para y da forma y_p = A x + B. Calculo y_p^{\prime\prime}=0. Substituindo em \;x y^{\prime\prime}+3y=x\; (forma original) temos
x\cdot 0 + 3(Ax+B) = x \quad\Longrightarrow\quad 3A x + 3B = x.
Igualando coeficientes obtemos 3A=1 e 3B=0, logo A=\tfrac{1}{3} e B=0. Portanto uma solução particular é
y_p(x)=\frac{1}{3}x.
Guarde essa solução; agora precisamos da solução geral da homogênea.

Passo 3

Vamos resolver a homogênea
y^{\prime\prime}+\frac{3}{x}y=0.
Para tornar a equação mais tratável fazemos a substituição de variável
x=t^{2}\qquad(\text{ou seja }t=\sqrt{x}),
e definimos
u(t)=y(t^{2})=y(x).
Precisamos relacionar y' e y'' com derivadas de u em t. Como y(x)=u(t) com t=\sqrt{x}, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\;u'(t)\cdot\frac{1}{2t},
isto é
y'=\frac{u'}{2t}.
Para a segunda derivada, derivamos y' em relação a x, usando d/dx=(1/(2t))d/dt:
y''=\frac{1}{2t}\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u'}{2t}\right) =\frac{1}{2t}\left(\frac{u''}{2t}-\frac{u'}{2t^{2}}\right) =\frac{u''}{4t^{2}}-\frac{u'}{4t^{3}}.
Multiplicando por x=t^{2} (voltando à forma x y'' da equação original) obtemos
x y''=t^{2}\left(\frac{u''}{4t^{2}}-\frac{u'}{4t^{3}}\right)=\frac{u''}{4}-\frac{u'}{4t}.
Substituindo na homogênea x y''+3y=0 (lembrando que y=u) temos
\frac{u''}{4}-\frac{u'}{4t}+3u=0.
Multiplicando por 4:
u''-\frac{u'}{t}+12u=0.

Passo 4

Agora fazemos uma transformação que simplifica o termo em u'. Procuro u(t)=t^{m}w(t) e escolho m de modo a obter a forma padrão da equação de Bessel. Substituindo u=t^{m}w e calculando (mostro apenas o passo relevante): ao escolher m=1 a equação transforma-se em
w''+\frac{1}{t}w'+\left(12-\frac{1}{t^{2}}\right)w=0.
Esta é exatamente a equação de Bessel do tipo
w''+\frac{1}{t}w'+\left(k^{2}-\frac{\nu^{2}}{t^{2}}\right)w=0
com os parâmetros
k^{2}=12\quad\text{e}\quad \nu=1,
ou seja k=2\sqrt{3} e ordem \nu=1. Portanto a solução geral para w(t) é uma combinação linear das funções de Bessel de 1ª e 2ª espécie:
w(t)=C_{1}J_{1}(2\sqrt{3}\,t)+C_{2}Y_{1}(2\sqrt{3}\,t).
Voltando a u(t)=t^{1}w(t)=t w(t) e depois a y(x)=u(t) com t=\sqrt{x}, obtemos a solução geral da homogênea:
y_{h}(x)=\sqrt{x}\left[C_{1}J_{1}\!\bigl(2\sqrt{3}\,\sqrt{x}\bigr)+C_{2}Y_{1}\!\bigl(2\sqrt{3}\,\sqrt{x}\bigr)\right].
(Obs.: como \sqrt{3}\sqrt{x}=\sqrt{3x} podemos também escrever a função de Bessel com argumento 2\sqrt{3x}.)

Passo 5

Usamos o Wronskiano para duas finalidades: (i) verificar que as duas soluções que escolhemos são linearmente independentes; (ii) calcular explicitamente o Wronskiano (constante) para confirmar consistência. Para uma equação da forma
y''+P(x)y'+Q(x)y=0,
a fórmula de Abel diz que o Wronskiano W(x) de duas soluções é
W(x)=C\exp\!\Bigl(-\int P(x)\,dx\Bigr).
No nosso caso P(x)=0 (na forma y''+0\cdot y'+(3/x)y=0), logo W(x)=C é constante; portanto o Wronskiano é constante — se for diferente de zero, as soluções são independentes. Vamos calcular esse valor constante explicitamente usando o Wronskiano conhecido das funções de Bessel.
Tome
y_{1}(x)=\sqrt{x}J_{1}\!\bigl(2\sqrt{3}\,\sqrt{x}\bigr),\qquad y_{2}(x)=\sqrt{x}Y_{1}\!\bigl(2\sqrt{3}\,\sqrt{x}\bigr).
Defina t=\sqrt{x} e z=2\sqrt{3}\,t. Conhece‑se a identidade clássica para Bessel:
W_{z}\bigl(J_{1}(z),Y_{1}(z)\bigr)=\frac{2}{\pi z}.
Fazendo a transformação de variáveis (cálculo direto mostra os passos), obtém‑se que o Wronskiano em x destas duas funções é
W_{x}\bigl(y_{1},y_{2}\bigr)=\frac{1}{\pi},
constante e diferente de zero. Isso confirma que y_{1},y_{2} formam um par fundamental de soluções da homogênea.

Passo 6

Finalmente, montamos a solução geral da equação completa somando a homogênea com a solução particular encontrada no Passo 2:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =\sqrt{x}\left[C_{1}J_{1}\!\bigl(2\sqrt{3}\,\sqrt{x}\bigr)+C_{2}Y_{1}\!\bigl(2\sqrt{3}\,\sqrt{x}\bigr)\right]+\frac{1}{3}x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinam a combinação linear da homogênea). Esta é a solução geral válida para x>0 (a transformação t=\sqrt{x} exige x\ge0; para x<0 usa‑se uma escolha de ramos com \sqrt{x}=i\sqrt{|x|} e as soluções são expressas em termos de funções de Bessel modificadas).

Resposta

y(x)=\sqrt{x}\left(C_{1}J_{1}\!\bigl(2\sqrt{3}\,\sqrt{x}\bigr)+C_{2}Y_{1}\!\bigl(2\sqrt{3}\,\sqrt{x}\bigr)\right)+\frac{1}{3}x

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