Questão 3. Encontre uma solução geral para a equação diferencial
usando o Wrosnkiano.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre uma solução geral para a equação diferencial
usando o Wronskiano."\n
Informações dadas e o que nos pedem:
Informações dadas e o que nos pedem:
- A equação é de segunda ordem não homogênea, com coeficiente dependente de
. - Devemos fornecer a solução geral
(solução geral = solução homogênea + uma solução particular). - É pedido explicitamente o uso do Wronskiano em algum ponto (veremos como usá‑lo para confirmar independência das soluções da homogênea e para calcular seu valor constante).
- Assumimos
ao dividir por quando for necessário.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão dividindo por
(válido para
):
A equação homogênea associada é
Antes de resolver a homogênea, tento achar uma solução particular da equação completa por tentativa direta: como o termo à direita é polinomial (
, visto depois de dividir por
), tento uma solução particular polinomial para
da forma
. Calculo
. Substituindo em
(forma original) temos
Igualando coeficientes obtemos
e
, logo
e
. Portanto uma solução particular é
Guarde essa solução; agora precisamos da solução geral da homogênea.
Passo 3
Vamos resolver a homogênea
Para tornar a equação mais tratável fazemos a substituição de variável
e definimos
Precisamos relacionar
e
com derivadas de
em
. Como
com
, temos
isto é
Para a segunda derivada, derivamos
em relação a
, usando
:
Multiplicando por
(voltando à forma
da equação original) obtemos
Substituindo na homogênea
(lembrando que
) temos
Multiplicando por
:
Passo 4
Agora fazemos uma transformação que simplifica o termo em
. Procuro
e escolho
de modo a obter a forma padrão da equação de Bessel. Substituindo
e calculando (mostro apenas o passo relevante): ao escolher
a equação transforma-se em
Esta é exatamente a equação de Bessel do tipo
com os parâmetros
ou seja
e ordem
. Portanto a solução geral para
é uma combinação linear das funções de Bessel de 1ª e 2ª espécie:
Voltando a
e depois a
com
, obtemos a solução geral da homogênea:
(Obs.: como
podemos também escrever a função de Bessel com argumento
.)
Passo 5
Usamos o Wronskiano para duas finalidades: (i) verificar que as duas soluções que escolhemos são linearmente independentes; (ii) calcular explicitamente o Wronskiano (constante) para confirmar consistência. Para uma equação da forma
a fórmula de Abel diz que o Wronskiano
de duas soluções é
No nosso caso
(na forma
), logo
é constante; portanto o Wronskiano é constante — se for diferente de zero, as soluções são independentes. Vamos calcular esse valor constante explicitamente usando o Wronskiano conhecido das funções de Bessel.
Tome
Defina
e
. Conhece‑se a identidade clássica para Bessel:
Fazendo a transformação de variáveis (cálculo direto mostra os passos), obtém‑se que o Wronskiano em
destas duas funções é
constante e diferente de zero. Isso confirma que
formam um par fundamental de soluções da homogênea.
Passo 6
Finalmente, montamos a solução geral da equação completa somando a homogênea com a solução particular encontrada no Passo 2:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a combinação linear da homogênea). Esta é a solução geral válida para
(a transformação
exige
; para
usa‑se uma escolha de ramos com
e as soluções são expressas em termos de funções de Bessel modificadas).