Questão 4. Determine uma a solução geral da seguinte Equação de Euler
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+1,25 y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação
x^{2}y^{\prime\prime}+3x y^{\prime}+1,25\,y=0.
Informações dadas:
x^{2}y^{\prime\prime}+3x y^{\prime}+1,25\,y=0
é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes que dependem de x. O coeficiente constante multiplicando y é 1,25 (usei o número exatamente como foi dado). Não há condições iniciais; a tarefa é achar a solução geral (duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Vou usar a tentativa padrão para esse tipo de equação (aquela que funciona quando os coeficientes são potências de x): supor uma solução do tipo
y=x^{m},
onde m é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa suposição é natural porque, ao diferenciar x^{m}, as potências de x combinam com os fatores x^{2} e x da equação, produzindo uma equação algébrica para m. Agora vou calcular as derivadas e substituir.

Passo 3

Calculemos as derivadas de y=x^{m}:
y^{\prime}=m x^{m-1},
y^{\prime\prime}=m(m-1) x^{m-2}.
Essas fórmulas vêm da regra de potência: se y=x^{m} então \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1} e \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}x^{m}=m(m-1)x^{m-2}. Aqui m é a incógnita que vamos determinar.

Passo 4

Substituímos y, y^{\prime} e y^{\prime\prime} na equação:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+3x\big(m x^{m-1}\big)+1,25\big(x^{m}\big)=0.
Agora simplificamos fatorando x^{m}.

Passo 5

Extraindo x^{m} (observe que x^{2}x^{m-2}=x^{m} e x\cdot x^{m-1}=x^{m}):
x^{m}\big(m(m-1)+3m+1,25\big)=0.
Como queremos soluções não triviais, assumimos x^{m}\neq 0 para valores de x em que a solução é considerada, então o fator entre parênteses deve ser zero. Isso leva à equação característica (indicial):

Passo 6

Escrevemos a equação para m:
m(m-1)+3m+1,25=0.
Desenvolvendo:
m^{2}-m+3m+1,25=0,
logo
m^{2}+2m+1,25=0.

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática
m^{2}+2m+1,25=0.
Usamos a fórmula quadrática m=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=1, b=2, c=1,25. Primeiro o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot1,25=4-5=-1.
O discriminante é negativo, portanto as raízes são complexas conjugadas.

Passo 8

Calculando as raízes:
m=\dfrac{-2\pm\sqrt{-1}}{2}=\dfrac{-2\pm i}{2}=-1\pm \dfrac{i}{2}.
Então as raízes são \displaystyle m_{1}=-1+\dfrac{i}{2} e \displaystyle m_{2}=-1-\dfrac{i}{2}.

Passo 9

Quando a equação de Euler (Cauchy–Euler) tem raízes complexas m=\alpha\pm i\beta, a solução real geral pode ser escrita como
y=x^{\alpha}\big(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais e \ln é o logaritmo natural. Aqui \alpha=-1 e \beta=\tfrac{1}{2}.

Passo 10

Substituindo \alpha e \beta obtemos a solução geral:
y=x^{-1}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{1}{2}\ln x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\ln x\big)\Big).
Uma observação prática: para tratar também casos com x<0 de forma direta, costuma-se escrever \ln|x| no lugar de \ln x. Como x^{-1}=1/x é bem definido (exceto em x=0), uma forma segura é
y=\dfrac{1}{x}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{1}{2}\ln|x|\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\ln|x|\big)\Big),
válida para x\neq 0. Em provas normalmente basta apresentar a expressão com \ln x e mencionar que x>0, ou usar \ln|x| para cobrir x<0.

Passo 11

Recapitulando: assumimos y=x^{m}, obtivemos a equação característica m^{2}+2m+1,25=0, raízes complexas -1\pm i/2, e convertemos isso na solução real geral usando a fórmula com cosseno e seno em \ln x. É exatamente esse procedimento que é pedido em provas para equações de Euler com raízes complexas.

Resposta

y=\dfrac{1}{x}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{1}{2}\ln|x|\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\ln|x|\big)\Big)

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