Questão 4. Determine uma a solução geral da seguinte Equação de Euler
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação
Informações dadas:
é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. O coeficiente constante multiplicando
é
(usei o número exatamente como foi dado). Não há condições iniciais; a tarefa é achar a solução geral (duas constantes arbitrárias).
Passo 2
Vou usar a tentativa padrão para esse tipo de equação (aquela que funciona quando os coeficientes são potências de
): supor uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa suposição é natural porque, ao diferenciar
, as potências de
combinam com os fatores
e
da equação, produzindo uma equação algébrica para
. Agora vou calcular as derivadas e substituir.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
:
Essas fórmulas vêm da regra de potência: se
então
e
. Aqui
é a incógnita que vamos determinar.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação:
Agora simplificamos fatorando
.
Passo 5
Extraindo
(observe que
e
):
Como queremos soluções não triviais, assumimos
para valores de
em que a solução é considerada, então o fator entre parênteses deve ser zero. Isso leva à equação característica (indicial):
Passo 6
Escrevemos a equação para
:
Desenvolvendo:
logo
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática
Usamos a fórmula quadrática
com
,
,
. Primeiro o discriminante:
O discriminante é negativo, portanto as raízes são complexas conjugadas.
Passo 8
Calculando as raízes:
Então as raízes são
e
.
Passo 9
Quando a equação de Euler (Cauchy–Euler) tem raízes complexas
, a solução real geral pode ser escrita como
onde
e
são constantes arbitrárias reais e
é o logaritmo natural. Aqui
e
.
Passo 10
Substituindo
e
obtemos a solução geral:
Uma observação prática: para tratar também casos com
de forma direta, costuma-se escrever
no lugar de
. Como
é bem definido (exceto em
), uma forma segura é
válida para
. Em provas normalmente basta apresentar a expressão com
e mencionar que
, ou usar
para cobrir
.
Passo 11
Recapitulando: assumimos
, obtivemos a equação característica
, raízes complexas
, e convertemos isso na solução real geral usando a fórmula com cosseno e seno em
. É exatamente esse procedimento que é pedido em provas para equações de Euler com raízes complexas.