Resolva os seguintes problemas de Cauchy.
com
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy (equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com condições iniciais). As informações dadas são:
com as condições iniciais
O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Método escolhido: resolver a equação característica associada à equação diferencial de coeficientes constantes. A ideia é procurar soluções da forma
. Substituindo na equação obtemos a equação polinomial para
, chamada equação característica.
Passo 3
Escrevendo a equação característica:
Calcule o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calcule as raízes:
Passo 4
Quando as raízes da característica são
(com
), a forma geral das soluções reais é
onde
e
são constantes reais. Aqui
e
, portanto a solução geral é
Passo 5
Aplique a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Logo
Passo 6
Precisamos de
. Para isso calcule
passo a passo usando regra do produto e derivadas básicas (
,
,
):
Fatorando
e agrupando termos em
e
:
Passo 7
Avalie
e use a condição
. Substituindo
e
:
Impondo
:
Passo 8
Encontramos as constantes
e
. A partir da forma geral
com essas constantes, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais (a expressão final está em