Resolva os seguintes problemas de Cauchy.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0 com y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy (equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com condições iniciais). As informações dadas são:
y'' + 6y' + 13y = 0
com as condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=-1.
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.

Passo 2

Método escolhido: resolver a equação característica associada à equação diferencial de coeficientes constantes. A ideia é procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação obtemos a equação polinomial para r, chamada equação característica.

Passo 3

Escrevendo a equação característica:
r^2 + 6r + 13 = 0.
Calcule o discriminante:
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot13 = 36 - 52 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calcule as raízes:
r = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i.

Passo 4

Quando as raízes da característica são r=\alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R}), a forma geral das soluções reais é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais. Aqui \alpha=-3 e \beta=2, portanto a solução geral é
y(x)=e^{-3x}\big(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\big).

Passo 5

Aplique a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=e^{0}\big(C_1\cos0 + C_2\sin0\big)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Logo
C_1 = 1.

Passo 6

Precisamos de C_2. Para isso calcule y'(x) passo a passo usando regra do produto e derivadas básicas ( (e^{-3x})'=-3e^{-3x}, (\cos2x)'=-2\sin2x, (\sin2x)'=2\cos2x):
\begin{aligned} y'(x) &= (e^{-3x})'\big(C_1\cos2x+C_2\sin2x\big) + e^{-3x}\big(C_1(\cos2x)' + C_2(\sin2x)'\big)\\[4pt] &= -3e^{-3x}\big(C_1\cos2x+C_2\sin2x\big) + e^{-3x}\big(-2C_1\sin2x + 2C_2\cos2x\big). \end{aligned}
Fatorando e^{-3x} e agrupando termos em \cos2x e \sin2x:
y'(x)=e^{-3x}\big( (-3C_1+2C_2)\cos2x + (-3C_2-2C_1)\sin2x \big).]

Passo 7

Avalie y'(0) e use a condição y'(0)=-1. Substituindo x=0 e C_1=1:
y'(0)=(-3C_1+2C_2)\cdot 1 + (-3C_2-2C_1)\cdot 0 = -3\cdot 1 + 2C_2 = -3 + 2C_2.
Impondo y'(0)=-1:
-3 + 2C_2 = -1 \quad\Rightarrow\quad 2C_2 = 2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 1.

Passo 8

Encontramos as constantes C_1=1 e C_2=1. A partir da forma geral y(x)=e^{-3x}\big(C_1\cos2x+C_2\sin2x\big) com essas constantes, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais (a expressão final está em

Resposta

y(x)=e^{-3x}\big(\cos(2x)+\sin(2x)\big)

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