Questão 1(2,5) : Encontre a solução do Problema de Valor Inicial abaixo:
1y-1x^2 raiz1-y^2 d yd x=0, y(1)=raiz32

Passo 1

O enunciado dá a EDO
1y-1x^2raiz1-y^2,dydx=0
com condição inicial y(1)=tfracraiz32.
Esse é um problema de valor inicial cujo tipo é separável, então vamos isolar tfracdydx, separar variáveis, integrar e aplicar a condição para achar a constante.

Passo 2

Reescrevendo para isolar tfracdydx:
1x^2raiz1-y^2,dydx ;=;1y Longrightarrow dydx ;=; x^2,raiz1-y^2y
Agora separamos as variáveis y e x:
yraiz1-y^2,dy ;=; x^2,dx

Passo 3

Integramos cada lado:
integral yraiz1-y^2,dy ;=;integral x^2,dx
No lado esquerdo fazemos u=1-y^2implies du=-2y,dy, logo
integral yraiz1-y^2,dy =integral -tfrac12,u^-1/2,du =-raiz1-y^2+C1
No lado direito
integral x^2,dx =x^33+C2
Igualando (absorvendo constantes numa só C):
-raiz1-y^2 =x^33+C

Passo 4

Usamos y(1)=tfracraiz32. Então
raiz1-(raiz3/2)^2=tfrac12, e substituindo em
-tfrac12 = tfrac13+C Longrightarrow C = -tfrac12 - tfrac13 = -tfrac56
Fica
-raiz1-y^2 = x^33-56 Longrightarrow raiz1-y^2 = -x^33+56

Passo 5

Elevando ao quadrado e isolando y:
1 - y^2 =l(-tfracx^33+tfrac56r)^2 =l(tfrac5-2x^36r)^2,
y^2 =1 - l(tfrac5-2x^36r)^2,
e como na condição inicial y>0, pegamos o sinal positivo:
y(x) =raiz,1 - l(tfrac5-2x^36r)^2, =raiz,1 - l(-tfracx^33+tfrac56r)^2,

Resposta

y(x) = raiz,1 - l(-tfracx^33+tfrac56r)^2,

Exercícios relacionados