Questão 5(2,0). Sejam f \in K[x], com K corpo, e a, b \in K tais que a \neq b. Mostre que se x-a e x-b dividem f separadamente, então (x-a)(x-b) divide f. (dica: Algorítimo da Divisão.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo daqui do próprio enunciado):
  • f\in K[x], onde K é um corpo.
  • a,b\in K com a\neq b.
  • Sabemos que (x-a) divide f e que (x-b) divide f (separadamente).
O que é pedido:
  • Mostrar que (x-a)(x-b) divide f; em outras palavras, provar que existe r\in K[x] tal que
f=(x-a)(x-b)\,r.

Passo 2

Lembrete sobre o Algoritmo da Divisão (passo-a-passo e por que vale aqui). Para qualquer polinômio g\in K[x] não nulo e qualquer f\in K[x] existe divisão única
f = g\cdot q + r,
com q,r\in K[x] e ou r=0 ou \deg r < \deg g. No caso de dividir por um polinômio linear monico como x-a temos \deg r<1, logo r é um elemento de K (uma constante). Além disso, se fizermos a divisão
f = (x-a)\,q + r
e avaliarmos em x=a (substituindo x=a) obtemos
f(a) = (a-a)\,q(a) + r = r,
logo o resto ao dividir por x-a é exatamente f(a). Esse é um fato fundamental e muito útil (às vezes chamado de “teorema do resto”).

Passo 3

Usando o fato anterior com a hipótese (x-a)\mid f: como (x-a) divide f, o resto da divisão de f por x-a é zero, ou seja f(a)=0. Portanto existe q\in K[x] tal que
f=(x-a)\,q.
Aqui explico devagar: a divisão garante existência de q e r com r\in K; a hipótese que (x-a) divide f é exatamente a afirmação r=0, e portanto chegamos à expressão acima.

Passo 4

Agora use a outra hipótese (x-b)\mid f. Como (x-b) divide f temos f(b)=0. Substituindo x=b na expressão f=(x-a)q obtemos
f(b)=(b-a)\,q(b).
Mas f(b)=0 por hipótese, então
0 = (b-a)\,q(b).
Como K é corpo e a\neq b, o elemento b-a é invertível em K (ou seja b-a\neq 0 implica existência de (b-a)^{-1}). Multiplicando a igualdade anterior por (b-a)^{-1} obtemos
q(b)=0.

Passo 5

Do resultado q(b)=0 e novamente pelo “teorema do resto” (ou pelo algoritmo da divisão aplicado a q e x-b) segue que (x-b) divide q. Assim existe r\in K[x] tal que
q=(x-b)\,r.
Substituindo na expressão de f do Passo 3 obtemos
f=(x-a)\,q=(x-a)\bigl((x-b)\,r\bigr)=(x-a)(x-b)\,r.

Passo 6

Conclusão clara: escrevemos f como (x-a)(x-b) vezes um polinômio r\in K[x]. Isso significa exatamente que (x-a)(x-b) divide f, que era o que precisávamos demonstrar.

Resposta

(x-a)(x-b) divide f

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