Questão
. Sejam
, com
corpo, e
tais que
. Mostre que se
e
dividem
separadamente, então
divide
. (dica: Algorítimo da Divisão.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo daqui do próprio enunciado):
-
, onde é um corpo. -
com . - Sabemos que
divide e que divide (separadamente).
O que é pedido:
- Mostrar que
divide ; em outras palavras, provar que existe tal que
Passo 2
Lembrete sobre o Algoritmo da Divisão (passo-a-passo e por que vale aqui). Para qualquer polinômio
não nulo e qualquer
existe divisão única
com
e ou
ou
. No caso de dividir por um polinômio linear monico como
temos
, logo
é um elemento de
(uma constante). Além disso, se fizermos a divisão
e avaliarmos em
(substituindo
) obtemos
logo o resto ao dividir por
é exatamente
. Esse é um fato fundamental e muito útil (às vezes chamado de “teorema do resto”).
Passo 3
Usando o fato anterior com a hipótese
: como
divide
, o resto da divisão de
por
é zero, ou seja
. Portanto existe
tal que
Aqui explico devagar: a divisão garante existência de
e
com
; a hipótese que
divide
é exatamente a afirmação
, e portanto chegamos à expressão acima.
Passo 4
Agora use a outra hipótese
. Como
divide
temos
. Substituindo
na expressão
obtemos
Mas
por hipótese, então
Como
é corpo e
, o elemento
é invertível em
(ou seja
implica existência de
). Multiplicando a igualdade anterior por
obtemos
Passo 5
Do resultado
e novamente pelo “teorema do resto” (ou pelo algoritmo da divisão aplicado a
e
) segue que
divide
. Assim existe
tal que
Substituindo na expressão de
do Passo 3 obtemos
Passo 6
Conclusão clara: escrevemos
como
vezes um polinômio
. Isso significa exatamente que
divide
, que era o que precisávamos demonstrar.