Questão 5: Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
ly^prime prime-2 y^prime-3 y=6 y(0)=-3, y^prime(0)=5

Passo 1

Enunciado: temos a equação diferencial de segunda ordem
y'' - 2y' - 3y = 6
com condições iniciais
y(0)=-3, y'(0)=5
O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos achar a solução homogênea, uma solução particular e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
yh'' - 2yh' - 3yh = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0
Fatorando, temos
(r-3)(r+1)=0,
o que dá r1=3 e r2=-1. Logo,
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é constante, buscamos uma solução particular constante
yp(t) = A
Substituindo na EDO original:
0 - 0 - 3A = 6,
logo A = -2. Assim,
yp(t) = -2

Passo 4

Construímos a solução geral somando as partes homogênea e particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - 2

Passo 5

Derivamos para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = 3C1 e^3t - C2 e^-t
Em t=0,
y(0) = C1 + C2 - 2 = -3,
y'(0) = 3C1 - C2 = 5
Isso gera o sistema:
C1 + C2 = -1,
3C1 - C2 = 5

Passo 6

Somando as equações, obtemos 4C1 = 4, logo C1 = 1. Substituindo em C1 + C2 = -1, temos C2 = -2.

Resposta

y(t) = e^3t - 2e^-t - 2

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