Questão 5: Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Enunciado: temos a equação diferencial de segunda ordem
com condições iniciais
O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos achar a solução homogênea, uma solução particular e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
A equação característica é
Fatorando, temos
o que dá
e
. Logo,
Passo 3
Como o termo não homogêneo é constante, buscamos uma solução particular constante
Substituindo na EDO original:
logo
. Assim,
Passo 4
Construímos a solução geral somando as partes homogênea e particular:
Passo 5
Derivamos para aplicar as condições iniciais:
Em
,
Isso gera o sistema:
Passo 6
Somando as equações, obtemos
, logo
. Substituindo em
, temos
.