Questão 5: Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
ly^prime-2 y=5 cos (t) y(0)=3

Passo 1

Neste problema temos uma equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial: y' - 2y = 5cos(t), y(0)=3. Vamos usar o método de fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão y' + p(t)y = g(t). Aqui p(t) = -2 e g(t)=5cos(t). O fator integrante é mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral -2,dt=e^-2t.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por mu(t). O lado esquerdo vira derivada do produto e o direito fica pronto para integrar:
ddtl(e^-2tyr)=5e^-2tcos(t)

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral dl(e^-2tyr)=integral 5e^-2tcos(t),dt
Para resolver integral e^atcos(bt),dt usamos a fórmula abaixo:
integral e^atcos(bt),dt = e^atacos(bt)+bsin(bt)a^2+b^2
Com a=-2 e b=1 vemos que
integral 5e^-2tcos(t),dt = 5,e^-2t-2cos(t)+1sin(t)(-2)^2+1^2 = e^-2tl(-2cos(t)+sin(t)r)+C
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Passo 5

Da integração obtemos
e^-2ty = e^-2tl(-2cos(t)+sin(t)r)+C
Isolando y
y(t) = -2cos(t)+sin(t) + C e^2t

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=3:
-2cos(0)+sin(0)+C = 3 implies -2 + 0 + C = 3 implies C = 5

Resposta

y(t) = -2cos(t) + sin(t) + 5e^2t

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