Questão 1. a) Encontre a solução do sistema línear homogéneo de e.d.o. s método de autovalores e autovetores:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 2 & -1 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right) X
b) Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:
As informações relevantes: a matriz do sistema é A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]3 & -2\end{pmatrix} e queremos todas as soluções X(t) (dependendo de constantes arbitrárias).
(b) Encontrar a solução geral do sistema linear não-homogêneo usando variação de parâmetros. O sistema não-homogêneo é
Informações relevantes: é o mesmo A da parte (a) e o termo não-homogêneo é f(t)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}e^{t}. Devemos usar variação de parâmetros para obter a solução geral.]
Passo 2
Para resolver o homogêneo pelo método de autovalores/autovetores, primeiro encontramos os autovalores de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Explicação do porquê das soluções do homogêneo: se Av=\lambda v então X(t)=e^{\lambda t}v satisfaz X'=AX porque X'=\lambda e^{\lambda t}v= A(e^{\lambda t}v). Assim as soluções fundamentais são e^{t}v^{(1)} e e^{-t}v^{(-1)}.
Portanto a solução geral do sistema homogêneo é combinação linear das duas:
Agora parte (b): variação de parâmetros. A ideia: construir uma matriz fundamental \Phi(t) cujas colunas são duas soluções fundamentais independentes, escrever X=\Phi(t)u(t) e escolher u(t) tal que \Phi u resolva o sistema não-homogêneo. Para um sistema X'=AX+f(t) obtemos a equação
\Phi(t)u'(t)=f(t)
ou seja
u'(t)=\Phi(t)^{-1}f(t).
Escolhemos a matriz fundamental com as colunas que já temos:
com C_1,C_2 constantes arbitrárias. (Se preferir, dá para combinar o termo -\tfrac{1}{2}e^{t} com C_1 e^{t}, mas mantivemos a forma separada para ficar claro o particular obtido por variação de parâmetros.)]