Questão 1. a) Encontre a solução do sistema línear homogéneo de e.d.o. s método de autovalores e autovetores:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 2 & -1 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right) X
b) Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:
\mathrm{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 2 & -1 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right) \mathrm{X}+\binom{1}{-1} e^{t}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar a solução do sistema linear homogêneo. O sistema é
X'=\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]3 & -2\end{pmatrix}X.
As informações relevantes: a matriz do sistema é A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]3 & -2\end{pmatrix} e queremos todas as soluções X(t) (dependendo de constantes arbitrárias).
  • (b) Encontrar a solução geral do sistema linear não-homogêneo usando variação de parâmetros. O sistema não-homogêneo é
X'=\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]3 & -2\end{pmatrix}X+\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}e^{t}.
Informações relevantes: é o mesmo A da parte (a) e o termo não-homogêneo é f(t)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}e^{t}. Devemos usar variação de parâmetros para obter a solução geral.]

Passo 2

Para resolver o homogêneo pelo método de autovalores/autovetores, primeiro encontramos os autovalores de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Calculemos:
\det\!\big(A-\lambda I\big)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[2pt]3 & -2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\cdot 3.
Desenvolvendo:
(2-\lambda)(-2-\lambda)= -4 +\lambda^2
portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-4+3=\lambda^2-1.
Logo os autovalores satisfazem
\lambda^2-1=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm 1.]

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
\begin{pmatrix}2-1 & -1\\[2pt]3 & -2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]3 & -3\end{pmatrix}.
A equação v_1-v_2=0 v_1=v_2. Podemos escolher o autovetor
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
\begin{pmatrix}2+1 & -1\\[2pt]3 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]3 & -1\end{pmatrix}.
A equação 3v_1-v_2=0 v_2=3v_1. Tomando v_1=1,
v^{(-1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Explicação do porquê das soluções do homogêneo: se Av=\lambda v então X(t)=e^{\lambda t}v satisfaz X'=AX porque X'=\lambda e^{\lambda t}v= A(e^{\lambda t}v). Assim as soluções fundamentais são e^{t}v^{(1)} e e^{-t}v^{(-1)}.
Portanto a solução geral do sistema homogêneo é combinação linear das duas:
X_h(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.]

Passo 5

Agora parte (b): variação de parâmetros. A ideia: construir uma matriz fundamental \Phi(t) cujas colunas são duas soluções fundamentais independentes, escrever X=\Phi(t)u(t) e escolher u(t) tal que \Phi u resolva o sistema não-homogêneo. Para um sistema X'=AX+f(t) obtemos a equação
\Phi(t)u'(t)=f(t)
ou seja
u'(t)=\Phi(t)^{-1}f(t).
Escolhemos a matriz fundamental com as colunas que já temos:
\Phi(t)=\begin{pmatrix}e^{t} & e^{-t}\\[2pt]e^{t} & 3e^{-t}\end{pmatrix},
onde a primeira coluna é e^{t}v^{(1)} e a segunda é e^{-t}v^{(-1)}.]

Passo 6

Calculemos \Phi(t)^{-1}. O determinante de \Phi é
\det\Phi = e^{t}\cdot 3e^{-t}-e^{t}\cdot e^{-t}=3-1=2.
Usando a fórmula da inversa de 2\times2,
\Phi^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3e^{-t} & -e^{-t}\\[2pt]-e^{t} & e^{t}\end{pmatrix}.
O termo não-homogêneo é f(t)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}e^{t}. Então
u'(t)=\Phi^{-1}f(t)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3e^{-t} & -e^{-t}\\[2pt]-e^{t} & e^{t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}e^{t}.
Façamos a multiplicação passo a passo. Primeiro multiplicamos a matriz pela coluna \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}3e^{-t}\cdot 1 +(-e^{-t})\cdot(-1)\\[2pt]-e^{t}\cdot 1 + e^{t}\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4e^{-t}\\[2pt]-2e^{t}\end{pmatrix}.
Multiplicando por e^{t} e por 1/2 obtemos
u'(t)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-e^{2t}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Integramos para achar u(t). Integração componente a componente:
u_1'(t)=2\quad\Rightarrow\quad u_1(t)=2t+C_1,
u_2'(t)=-e^{2t}\quad\Rightarrow\quad u_2(t)=-\tfrac{1}{2}e^{2t}+C_2.
Para obter uma particular, tomamos as constantes de integração C_1=C_2=0. Assim uma escolha conveniente é
u_p(t)=\begin{pmatrix}2t\\[2pt]-\tfrac{1}{2}e^{2t}\end{pmatrix}.
Agora montamos a solução particular X_p=\Phi u_p. Calculando:
X_p(t)=\begin{pmatrix}e^{t} & e^{-t}\\[2pt]e^{t} & 3e^{-t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2t\\[2pt]-\tfrac{1}{2}e^{2t}\end{pmatrix}.
Multiplicando:
primeira componente
e^{t}\cdot 2t + e^{-t}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}e^{2t}\big)=2t e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{t}=e^{t}\big(2t-\tfrac{1}{2}\big),
segunda componente
e^{t}\cdot 2t + 3e^{-t}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}e^{2t}\big)=2t e^{t}-\tfrac{3}{2}e^{t}=e^{t}\big(2t-\tfrac{3}{2}\big).
Portanto
X_p(t)=e^{t}\begin{pmatrix}2t-\tfrac{1}{2}\\[2pt]2t-\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma da solução geral homogênea com uma solução particular:
X(t)=X_h(t)+X_p(t).
Substituindo:
X(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix} +e^{t}\begin{pmatrix}2t-\tfrac{1}{2}\\[2pt]2t-\tfrac{3}{2}\end{pmatrix},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias. (Se preferir, dá para combinar o termo -\tfrac{1}{2}e^{t} com C_1 e^{t}, mas mantivemos a forma separada para ficar claro o particular obtido por variação de parâmetros.)]

Resposta

(a) \displaystyle X_h(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle X(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix}+e^{t}\begin{pmatrix}2t-\tfrac{1}{2}\\[2pt]2t-\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.]

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