Questão 2. a) Mostre que x=0 é um ponto ordinário para a equação
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+8 x y^{\prime}+10 y=0
b) Determine a fórmula de recorrência da solução em série da equação ();
c) Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação (
);
d) Encontre a solução por série de potências da equação \left({ }^{*}\right) dado que y(0)= 2 e y^{\prime}(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+8 x y^{\prime}+10 y=0
e pede, em partes:
a) mostrar que x=0 é ponto ordinário para essa equação;
b) determinar a fórmula de recorrência dos coeficientes da solução em série em torno de x=0;
c) obter uma fórmula fechada para o coeficiente geral (separando pares e ímpares);
d) obter a solução em série com as condiçõess iniciais y(0)=2 e y'(0)=3.
Informações dadas: a equação diferencial linear de segunda ordem acima e os valores iniciais em (d). Não há outras informações/figuras.

Passo 2

Definição útil (breve): um ponto x_0 é dito ordinário para uma equação do tipo p(x)y''+q(x)y'+r(x)y=0 se p(x_0)\neq0. Aqui o coeficiente do termo de ordem mais alta é p(x)=x^2+1. Avaliando em x=0 obtemos
p(0) = 0^2+1 = 1 \neq 0.
Logo, pelo critério da definição, x=0 é um ponto ordinário. Isso permite procurar soluções na forma de séries de potências centradas em 0.

Passo 3

Assumimos uma solução por série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes a determinar. Diferenciando termo a termo (justificável porque estamos em ponto ordinário e supondo convergência local) obtemos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.
Nessas últimas formas reindexadas, todas as séries estão em potências x^n com n variando a partir de 0, o que facilita a comparação de coeficientes.

Passo 4

Substituímos as séries na equação original. Escrevemos a equação como
x^{2}y'' + y'' + 8x y' + 10 y = 0.
Agora cada termo em série (todas as séries em potências x^n):
  • y''(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.
  • x^{2}y''(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n}. (mantemos a forma original para esse termo; quando combinarmos coeficientes, consideramos que para n=0,1 esse termo não contribui)
  • 8x y'(x)=8\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n}=8\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n} (o termo n=0 é nulo e pode ser incluído sem problema).
  • 10 y(x)=10\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Somando tudo e agrupando pelo mesmo expoente x^n (para cada n\ge0) obtemos a condição de coeficientes
(n+2)(n+1)a_{n+2} + \bigl(n(n-1) + 8n + 10\bigr)a_n = 0,\qquad n\ge0,
onde, para n=0,1, o termo n(n-1) vale zero de forma natural. Agora simplificamos o coeficiente quadrático:
n(n-1)+8n+10 = n^2+7n+10 = (n+5)(n+2).
Substituindo isso na relação acima:
(n+2)(n+1)a_{n+2} + (n+5)(n+2)a_n = 0.

Passo 5

Como (n+2)\neq0 para todo n\ge0, podemos dividir por (n+2) e obter a fórmula de recorrência simples:
(n+1)a_{n+2} + (n+5)a_n = 0,
ou equivalentemente, isolando a_{n+2},
\boxed{\,a_{n+2} = -\frac{n+5}{\,n+1\,}\; a_n\,,\qquad n\ge0.}
Observação importante (útil na prova): essa recorrência “pula” de n para n+2, portanto separa os dois subsistemas independentes: os coeficientes de ordem par dependem somente de a_0, e os de ordem ímpar dependem somente de a_1.

Passo 6

Vamos obter uma fórmula geral para os coeficientes pares a_{2k} em função de a_0. Aplicando recorrentemente a relação com n=0,2,4,\dots temos (escrevendo em produto)
a_{2k} = (-1)^k a_0 \prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j+5}{2j+1},\qquad k\ge0.
Agora simplificamos esse produto. Escrevemos o numerador como
\prod_{j=0}^{k-1} (2j+5) = \prod_{r=2}^{k+1} (2r+1) = \frac{(2k+3)!!}{3},
e o denominador como
\prod_{j=0}^{k-1} (2j+1) = (2k-1)!!.
Usando (2k+3)!!=(2k+3)(2k+1)(2k-1)!! obtemos
\prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j+5}{2j+1}=\frac{(2k+3)(2k+1)}{3}.
Portanto a fórmula fechada para os pares é
\boxed{\,a_{2k}=(-1)^k a_0\;\frac{(2k+3)(2k+1)}{3},\qquad k\ge0.}

Passo 7

Agora os coeficientes ímpares a_{2k+1}. Da recorrência tomada para n=1,3,5,\dots obtemos em produto
a_{2k+1}=(-1)^k a_1 \prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j+6}{2j+2},\qquad k\ge0.
Observe que \dfrac{2j+6}{2j+2}=\dfrac{j+3}{j+1}. Assim o produto simplifica usando fatoriais:
\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j+3}{j+1}=\frac{(k+2)!/2!}{k!}=\frac{(k+2)(k+1)}{2}.
Logo obtemos a fórmula fechada para os ímpares:
\boxed{\,a_{2k+1}=(-1)^k a_1\;\frac{(k+2)(k+1)}{2},\qquad k\ge0.}

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais da parte (d). Por definição da série y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n temos
y(0)=a_0=2,\qquad y'(0)=a_1=3.
Substituindo a_0=2 e a_1=3 nas fórmulas fechadas das partes anteriores obtemos:
  • Para os pares:
a_{2k}=(-1)^k \cdot 2\cdot\frac{(2k+3)(2k+1)}{3} = (-1)^k \frac{2(2k+3)(2k+1)}{3}.
  • Para os ímpares:
a_{2k+1}=(-1)^k \cdot 3 \cdot\frac{(k+2)(k+1)}{2} = (-1)^k \frac{3(k+2)(k+1)}{2}.
Portanto a solução em série é (separando soma de pares e ímpares)
\boxed{\,y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{2(2k+3)(2k+1)}{3}\, x^{2k} \;+\; \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{3(k+2)(k+1)}{2}\, x^{2k+1}\,.}
Mostrando os primeiros termos para checar coerência (calculando k=0,1 em cada soma):
y(x)=2 + 3x -10x^2 -9x^3 + \frac{35}{3}x^4 + \frac{27}{2}x^5+\cdots,
o que coincide com os coeficientes gerados pela recorrência inicial.

Resposta

a) x=0 é ponto ordinário porque x^{2}+1\big|_{x=0}=1\neq0.\n
b) a_{n+2}=-\dfrac{n+5}{\,n+1\,}\,a_n,\quad n\ge0.\n
c) a_{2k}=(-1)^k a_0\displaystyle\frac{(2k+3)(2k+1)}{3},\quad a_{2k+1}=(-1)^k a_1\displaystyle\frac{(k+2)(k+1)}{2}.\n
d) Com a_0=2,\\ a_1=3:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{2(2k+3)(2k+1)}{3}\, x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{3(k+2)(k+1)}{2}\, x^{2k+1}.

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