Questão 2. a) Mostre que x=0 é um ponto ordinário para a equação
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+8 x y^{\prime}+10 y=0
b) Determine a fórmula de recorrência da solução em série da equação ();
c) Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação ();
d) Encontre a solução por série de potências da equação \left({ }^{*}\right) dado que y(0)= 2 e y^{\prime}(0)=3.
Passo 1
O enunciado dá a equação
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+8 x y^{\prime}+10 y=0
e pede, em partes:
a) mostrar que x=0 é ponto ordinário para essa equação;
b) determinar a fórmula de recorrência dos coeficientes da solução em série em torno de x=0;
c) obter uma fórmula fechada para o coeficiente geral (separando pares e ímpares);
d) obter a solução em série com as condiçõess iniciais y(0)=2 e y'(0)=3.
Informações dadas: a equação diferencial linear de segunda ordem acima e os valores iniciais em (d). Não há outras informações/figuras.
Passo 2
Definição útil (breve): um ponto x_0 é dito ordinário para uma equação do tipo p(x)y''+q(x)y'+r(x)y=0 se p(x_0)\neq0. Aqui o coeficiente do termo de ordem mais alta é p(x)=x^2+1. Avaliando em x=0 obtemos
p(0) = 0^2+1 = 1 \neq 0.
Logo, pelo critério da definição, x=0 é um ponto ordinário. Isso permite procurar soluções na forma de séries de potências centradas em 0.
Passo 3
Assumimos uma solução por série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes a determinar. Diferenciando termo a termo (justificável porque estamos em ponto ordinário e supondo convergência local) obtemos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n},
x^{2}y''(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n}. (mantemos a forma original para esse termo; quando combinarmos coeficientes, consideramos que para n=0,1 esse termo não contribui)
8x y'(x)=8\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n}=8\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n} (o termo n=0 é nulo e pode ser incluído sem problema).
Observação importante (útil na prova): essa recorrência “pula” de n para n+2, portanto separa os dois subsistemas independentes: os coeficientes de ordem par dependem somente de a_0, e os de ordem ímpar dependem somente de a_1.
Passo 6
Vamos obter uma fórmula geral para os coeficientes pares a_{2k} em função de a_0. Aplicando recorrentemente a relação com n=0,2,4,\dots temos (escrevendo em produto)
o que coincide com os coeficientes gerados pela recorrência inicial.
Resposta
a) x=0 é ponto ordinário porque x^{2}+1\big|_{x=0}=1\neq0.\n
b) a_{n+2}=-\dfrac{n+5}{\,n+1\,}\,a_n,\quad n\ge0.\n
c) a_{2k}=(-1)^k a_0\displaystyle\frac{(2k+3)(2k+1)}{3},\quad a_{2k+1}=(-1)^k a_1\displaystyle\frac{(k+2)(k+1)}{2}.\n
d) Com a_0=2,\\ a_1=3: