Questão 8: Encontre as soluções geral e definida da seguinte EDF, descreva a trajetória da solução definida e investigue as características da solução geral por meio da análise do diagrama de fase da EDF.
y_{t+1} + 2 y_{t} = 9, considere y0 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferenças que o enunciado deu: , com a condição inicial . O conteúdo aqui envolve resolver equações lineares de primeira ordem. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação e, depois, a solução específica que satisfaz a condição inicial. Também vamos olhar para o diagrama de fase para entender o comportamento das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar sozinho. A equação original é:
Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, identificamos que essa é uma equação linear de primeira ordem da forma , onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e da solução particular da equação completa.
Primeiro, consideramos a equação homogênea associada:
A solução dessa equação homogênea é da forma:
onde é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, encontramos uma solução particular ( ) para a equação completa. Como o termo constante é 9, assumimos que a solução particular é constante, ou seja, .
Substituindo na equação original:
Resolvendo para :
Então, a solução particular é .

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Passo 6

Substituindo o valor de na solução geral, temos a solução definida:

Passo 7

Para descrever a trajetória da solução definida , observamos que o termo oscila entre valores positivos e negativos à medida que aumenta, com amplitude aumentando exponencialmente. Isso significa que a solução definida oscilará em torno do valor de 3, crescendo em magnitude a cada passo de .

Passo 8

Analisando o diagrama de fase da equação , podemos ver que para cada ponto , o próximo ponto será refletido em relação a 3 (porque a solução particular é 3) e duplicado em distância a partir de 3 devido ao fator de -2. Isso confirma que a solução geral oscila e se afasta ou se aproxima dependendo do valor de . Como , as soluções gerais divergem, ou seja, afastam-se do ponto de equilíbrio em 3.

Resposta

A solução geral da equação é e a solução definida, com , é . A trajetória da solução definida oscila em torno de 3, aumentando sua amplitude a cada passo. No diagrama de fase, observa-se que as soluções gerais divergem do ponto de equilíbrio devido ao valor de .

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