Questão 8: Encontre as soluções geral e definida da seguinte EDF, descreva a trajetória da solução definida e investigue as características da solução geral por meio da análise do diagrama de fase da EDF.
, considere
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferenças que o enunciado deu:
, com a condição inicial
. O conteúdo aqui envolve resolver equações lineares de primeira ordem. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação e, depois, a solução específica que satisfaz a condição inicial. Também vamos olhar para o diagrama de fase para entender o comportamento das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
sozinho. A equação original é:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, identificamos que essa é uma equação linear de primeira ordem da forma
, onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e da solução particular da equação completa.
Primeiro, consideramos a equação homogênea associada:
A solução dessa equação homogênea é da forma:
onde
é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, encontramos uma solução particular (
) para a equação completa. Como o termo constante é 9, assumimos que a solução particular é constante, ou seja,
.
Substituindo na equação original:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é
.
Passo 5
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 6
Substituindo o valor de
na solução geral, temos a solução definida:
Passo 7
Para descrever a trajetória da solução definida
, observamos que o termo
oscila entre valores positivos e negativos à medida que
aumenta, com amplitude aumentando exponencialmente. Isso significa que a solução definida oscilará em torno do valor de 3, crescendo em magnitude a cada passo de
.
Passo 8
Analisando o diagrama de fase da equação
, podemos ver que para cada ponto
, o próximo ponto
será refletido em relação a 3 (porque a solução particular é 3) e duplicado em distância a partir de 3 devido ao fator de -2. Isso confirma que a solução geral oscila e se afasta ou se aproxima dependendo do valor de
. Como
, as soluções gerais divergem, ou seja, afastam-se do ponto de equilíbrio em 3.
Resposta
A solução geral da equação é
e a solução definida, com
, é
. A trajetória da solução definida oscila em torno de 3, aumentando sua amplitude a cada passo. No diagrama de fase, observa-se que as soluções gerais divergem do ponto de equilíbrio devido ao valor de
.