Sejam
e
duas funções,
e
tal que
para todo
. Mostre que se o limite
existe, então:
(isto é, o limite de
tendendo a
existe e é igual ao limite da função
).
Passo 1
O exercício pergunta para mostrar que, se duas funções f e g coincidem em todo ponto do intervalo (p–r,p+r) exceto possivelmente em p, então, sempre que
existir, o mesmo limite vale para f.
O conteúdo principal aqui é a definição de limite de função usando epsilon-delta. Vamos precisar lembrar que, por definição, dizer que significa: “para todo
existe
tal que, se
, então
”.
O conteúdo principal aqui é a definição de limite de função usando epsilon-delta. Vamos precisar lembrar que, por definição, dizer que
Passo 2
Como
existe, seja
. Então, dado qualquer
, existe um
tal que
Passo 3
Para garantir que f(x)=g(x), devemos também controlar que
fique dentro de
. Então escolhemos
Passo 4
Agora, sempre que
, temos duas coisas: (i)
então
, e (ii)
então
. Logo
Passo 5
Essa desigualdade mostra exatamente, pela definição de limite, que
, encerrando a prova.