Sejam f e g duas funções, p in R e r>0 tal que f(x)=g(x) para todo x neq p, p-r. Mostre que se o limite lim x p g(x) existe, então:
lim x p f(x)=lim x p g(x)
(isto é, o limite de f com x tendendo a p existe e é igual ao limite da função g ).

Passo 1

O exercício pergunta para mostrar que, se duas funções f e g coincidem em todo ponto do intervalo (p–r,p+r) exceto possivelmente em p, então, sempre que limx to p g(x) existir, o mesmo limite vale para f.
O conteúdo principal aqui é a definição de limite de função usando epsilon-delta. Vamos precisar lembrar que, por definição, dizer que limx to p g(x)=L significa: “para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, se 0<|x-p|, então |g(x)-L|”.

Passo 2

Como limx to p g(x) existe, seja L=limx to p g(x). Então, dado qualquer varepsilon>0, existe um de0 tal que
0<|x-p|

Passo 3

Para garantir que f(x)=g(x), devemos também controlar que x fique dentro de (p-r,p+r). Então escolhemos
de

Passo 4

Agora, sempre que 0<|x-p|, temos duas coisas: (i) |x-p| então |g(x)-L|, e (ii) |x-p| então f(x)=g(x). Logo
|f(x)-L| = |g(x)-L| < varepsilon

Passo 5

Essa desigualdade mostra exatamente, pela definição de limite, que limx to p f(x)=L, encerrando a prova.

Resposta

limx to p f(x) = limx to p g(x).

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