Questão 4: (2.0) Dada
. Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=x²+xy+y²−3x e classificá-los (mínimo, máximo ou sela). Vamos precisar calcular derivadas parciais, resolver o sistema gradiente=0 e usar o teste da matriz Hessiana.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Igualar as derivadas a zero e resolver:
Da equação (1): y=3−2x. Substituindo em (2):
Então y=3−2·2=−1. Logo o único ponto crítico é (2,−1).
Passo 4
Construir a matriz Hessiana:
Calcular determinante: det H=2·2−1·1=3>0, e f_{xx}=2>0. Pelo critério de Sylvester, isso indica um mínimo relativo em (2,−1). Não há máximos nem pontos de sela.
Resposta
A função tem um único ponto crítico em (2,−1), que é um mínimo relativo de valor
. Não há máximos relativos nem pontos de sela.