Questão 4: (2.0) Dada f(x, y)=x^2+x y+y^2-3 x. Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=x²+xy+y²−3x e classificá-los (mínimo, máximo ou sela). Vamos precisar calcular derivadas parciais, resolver o sistema gradiente=0 e usar o teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x=2x+y-3,
partial fpartial y=x+2y

Passo 3

Igualar as derivadas a zero e resolver:
2x+y-3=0(1)
x+2y=0(2)
Da equação (1): y=3−2x. Substituindo em (2):
x+2(3−2x)=0implies x+6−4x=0implies x=2
Então y=3−2·2=−1. Logo o único ponto crítico é (2,−1).

Passo 4

Construir a matriz Hessiana:
H=fxx&fxyfyx&fyy=2&11&2
Calcular determinante: det H=2·2−1·1=3>0, e f_{xx}=2>0. Pelo critério de Sylvester, isso indica um mínimo relativo em (2,−1). Não há máximos nem pontos de sela.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em (2,−1), que é um mínimo relativo de valor f(2,−1)=−3. Não há máximos relativos nem pontos de sela.

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