Questão 3: Potencial de Cascas Condutoras

Duas cascas condutoras esféricas concêntricas têm raios “a” e “b” (b > a). A casca interna tem carga +Q e a externa é mantida aterrada (potencial zero).
A) Determine o potencial \mathrm{V}(\mathrm{r}) em todas as regiões do espaço.
B) Se a casca externa fosse desconectada da terra e recebesse uma carga -2 Q , como mudaria a diferença de potencial entre as cascas? Explique se a capacitância do sistema seria alterada por essa mudança de carga.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
  • Duas cascas condutoras esféricas concêntricas com raios a (casca interna) e b (casca externa), com b>a.
  • A casca interna tem carga +Q.
  • A casca externa, no item (A), está aterrada (potencial da casca externa é 0).
  • Pedidos:
    • (A) Determinar o potencial V(r) em todas as regiões do espaço: para r<a, para a<r<b e para r>b.
    • (B) Se a casca externa for desconectada da terra e recebe carga -2Q, explicar como muda a diferença de potencial entre as cascas e se a capacitância do sistema muda.
Informações relevantes que vamos usar (já listadas, sem começar a resolver ainda):
  • Geometria: esfera concêntrica (simetria esférica).
  • Condutores em equilíbrio eletrostático: campo elétrico dentro do material do condutor é zero e todo excesso de carga reside nas superfícies.
  • Aterramento: casca externa fica com potencial igual a zero e pode trocar carga com a Terra.
  • Regiões a analisar: (i) interior da casca interna r<a; (ii) espaço entre as cascas a<r<b; (iii) fora da casca externa r>b.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas):
  • Lei de Gauss (em forma adequada para simetria esférica): para uma superfície esférica de raio r centrada no mesmo centro das cascas, o fluxo elétrico é \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}. Pela lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície esférica de raio r, e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Campo em região esfericamente simétrica: se Q_{\text{int}} é a carga efetiva no interior, então
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{int}}}{r^{2}},
apontando radialmente.
  • Potencial elétrico radial (escalar) relativo a uma referência: a diferença de potencial entre dois raios r_1 e r_2 é
V(r_2)-V(r_1)=-\int_{r_1}^{r_2} E(r)\,dr.
  • Propriedades do condutor: dentro do metal E=0 e o potencial é constante (mesmo valor em toda casca condutora). Cargas livres em equilíbrio se distribuem nas superfícies.
Vou aplicar esses conceitos região a região e usar como referência em (A) o potencial da casca externa, que é dado como 0 (aterrada).

Passo 3

Calcular o campo elétrico E(r) em cada região usando Gauss e as propriedades de condutor.
  • Região externa r>b (fora da casca externa), quando a casca externa está aterrada: porque a casca externa está conectada à Terra, cargas podem fluir para que o sistema alcance equilíbrio com o condutor externo no potencial 0. Isso resulta na presença de carga induzida na face interna da casca externa que neutraliza o campo externo. Pelo balanço de cargas, a casca externa receberá carga induzida -Q na face interna de raio b (pois a casca interna tem +Q), e, por estar ligada à Terra, o resto pode fluir para ou da Terra de modo que a carga líquida observada fora do conjunto seja zero. Assim o total de cargas dentro de uma superfície gaussiana com r>b é Q_{\text{int}}=+Q + (-Q)=0. Portanto, para r>b
E(r)=0.
  • Região entre as cascas a<r<b: uma superfície gaussiana de raio r (com a<r<b) envolve apenas a casca interna (que tem carga +Q toda sobre sua superfície externa). Logo Q_{\text{int}}=+Q e
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}},\qquad a<r<b.
  • Região interior r<a (interior da casca interna): dentro do material condutor e no interior o campo elétrico é zero. Em particular, para r<a (no centro e no interior do condutor) temos
E(r)=0.
Esses resultados passam pela intuição: o campo entre cascas é o do ponto carga +Q central (como se todo Q estivesse no centro), fora do conjunto cascas+terra o campo é zero porque o conjunto está conectado à Terra e o fluxo total de carga externa cancela.

Passo 4

Calcular o potencial V(r) usando o campo e escolhendo a referência V(b)=0 (porque a casca externa é aterrada). Vou integrar o campo no intervalo apropriado.
Entre as cascas, a\le r\le b, temos E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}. A diferença de potencial entre r e b é
V(r)-V(b) = -\int_{b}^{r} E(r')\,dr'.
Como V(b)=0, obtemos
V(r) = -\int_{b}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r'^{2}}\,dr'.
Fazendo a integral:
V(r)= -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[-\frac{1}{r'}\right]_{r'}^{b} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right), \qquad a\le r\le b.
Para a superfície da casca interna ( r=a) o potencial é, portanto,
V(a)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Dentro do material condutor da casca interna e para r<a o potencial é constante e igual a V(a). Assim
V(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right),\qquad r\le a.
Para r>b já vimos que E=0 e, já que escolhemos V(b)=0, temos
V(r)=0,\qquad r\ge b.

Passo 5

Resumo das expressões obtidas para o item (A) e interpretação física rápida:
  • Entre as cascas há campo não-nulo e o potencial decresce de V(a) até V(b)=0.
  • Fora do conjunto, campo e diferença de potencial relativo à terra são nulos, porque a casca externa aterrada cancela o efeito externo.
Também aproveito para apresentar a capacitância do sistema (é útil para o item (B)). A capacitância entre as duas cascas é definida por C=\dfrac{Q}{\Delta V} com \Delta V=V(a)-V(b). Aqui V(b)=0, então \Delta V=V(a). Usando o valor de V(a),
\Delta V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Daí
C=\frac{Q}{\Delta V} =4\pi\varepsilon_{0}\left(\frac{1}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}\right) =4\pi\varepsilon_{0}\frac{ab}{b-a}.
Explicando: a capacitância depende só da geometria (raios a e b) e da constante \varepsilon_{0}.

Passo 6

Agora o item (B): casca externa desconectada da terra e recebe carga total -2Q. Vou explicar passo a passo o que muda e por quê.
  • Quando a casca externa está isolada (desconectada da Terra), a carga total nela é um valor fixo -2Q. Em equilíbrio, devido à presença da casca interna com +Q, a face interna da casca externa (superfície de raio b voltada para o interior) terá carga induzida -Q. Porque dentro do material condutor o campo deve ser zero: a carga -Q na superfície interna cancela o efeito da carga +Q no espaço do metal. Isso é um princípio geral: a carga na superfície interna de um invólucro condutor com uma carga interna é exatamente o negativo da carga interna, para anular campo dentro do metal. Assim, da carga total -2Q da casca externa, uma parte -Q fica na superfície interna e a sobra -Q fica na superfície externa (a face voltada para o infinito).
  • Consequência para o campo entre cascas: o campo entre a e b depende apenas da carga no interior dessa região, ou seja, da carga +Q da casca interna (a carga -Q na face interna da casca externa é exatamente a que gera o campo entre cascas combinado com a carga interna — na prática o campo resultante entre as cascas é o mesmo achado antes). Portanto, para a<r<b,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}},
igualmente ao caso aterrada.
  • Diferença de potencial entre as cascas: como \Delta V=V(\text{interna})-V(\text{externa}) depende só do campo entre as cascas (integral de E de a a b), e esse campo entre cascas não mudou, a diferença de potencial entre as cascas permanece igual ao caso anterior. Em outras palavras, a carga que fica na face externa da casca externa ( -Q restante) afeta o potencial absoluto em relação ao infinito, mas não altera a diferença de potencial entre as superfícies internas onde o capacitor efetivamente existe. Em termos práticos:
\Delta V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)
permanece a mesma.
  • Capacitância: como a capacitância é uma propriedade geométrica do par de condutores (depende somente de a, b e \varepsilon_{0}), e como a diferença de potencial para uma dada carga Q entre as superfícies internas não mudou, a capacitância C=4\pi\varepsilon_{0}\dfrac{ab}{b-a} também não muda. Capacitância não depende das cargas absolutas que eventualmente existam nas superfícies externas isoladas, apenas da geometria e do arranjo das superfícies que formam o capacitor.
  • Observação sobre potenciais absolutos: embora a diferença de potencial entre as cascas não mude, o potencial absoluto da casca externa em relação ao infinito muda quando se coloca -2Q. Antes (caso aterrada) V(b)=0. Agora, com carga total -2Q, há carga líquida -Q na superfície externa, de modo que fora do conjunto o campo e o potencial correspondem a uma carga líquida -Q. Se tomarmos referência V(\infty)=0, o potencial da casca externa vale
V(b)= -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}b},
e o potencial da casca interna será V(a)=V(b)+\Delta V. Mas o que interessa para o item (B) pedido explicitamente — a diferença de potencial entre cascas e a capacitância — fica inalterado.

Resposta

A) V(r)=\begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\!\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right), & r\le a,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\!\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{b}\right), & a\le r\le b,\\[6pt] 0, & r\ge b. \end{cases}
B) A diferença de potencial entre as cascas não muda (permanece \displaystyle \Delta V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\!\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)). A capacitância do sistema também não é alterada; continua sendo \displaystyle C=4\pi\varepsilon_{0}\dfrac{ab}{b-a}.]

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