QUESTÃO 8: Um engenheiro químico analisa um reator que contém um gás ideal. O reator, de volume V fixo, está operando a uma pressão P e temperatura T . O engenheiro decide duplicar o número de mols ( n ) do gás dentro do reator, mantendo o volume V constante.
Para que a pressão ( P ) final seja o dobro da pressão inicial, o que deve acontecer com a temperatura absoluta ( T ) final do sistema?
a) A temperatura absoluta final deve ser metade da temperatura absoluta inicial.
b) A temperatura absoluta final deve ser igual à temperatura absoluta inicial.
c) A temperatura absoluta final deve ser o dobro da temperatura absoluta inicial.
d) A temperatura absoluta final deve ser quatro vezes a temperatura absoluta inicial.
e) A pressão não pode dobrar se o volume for mantido constante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Dados iniciais:
    • Volume do reator: V (constante).
    • Pressão inicial: P.
    • Temperatura absoluta inicial: T.
    • Número de mols inicial: n.
  • Ação tomada:
    • O engenheiro duplica o número de mols: o novo número de mols é n' = 2n.
    • O volume permanece constante em V.
  • Condição desejada:
    • A pressão final deve ser o dobro da inicial: P' = 2P.
  • Pergunta que devemos responder:
    • Qual deve ser a temperatura absoluta final T' do sistema para que, com V constante e n'=2n, tenhamos P'=2P?

Passo 2

Vamos usar a relação que conecta pressão, volume, número de mols e temperatura de um gás ideal. A fórmula é
PV = n R T
onde:
  • P é a pressão do gás,
  • V é o volume ocupado pelo gás,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases (número fixo),
  • T é a temperatura absoluta (em Kelvin).
Explicação didática: essa equação mostra que, para um gás ideal, o produto nT (número de mols vezes temperatura absoluta) é proporcional ao produto PV (pressão vezes volume). Se uma quantidade muda, as outras podem ajustar para manter a igualdade.

Passo 3

Escrevo a equação para o estado inicial (antes da alteração):
PV = n R T.

Passo 4

Escrevo a equação para o estado final (após duplicar n e com P' desejado):
P'V = n' R T'.
Substituo P' = 2P e n' = 2n nessa equação:
(2P)V = (2n) R T'.

Passo 5

Simplifico a equação final dividindo ambos os lados por 2:
PV = n R T'.
Compare essa igualdade com a do estado inicial PV = n R T. Ambas têm o mesmo lado esquerdo PV e o mesmo fator nR no lado direito, logo devemos ter
n R T' = n R T \quad\Rightarrow\quad T' = T.
Explicação: como n e R são iguais nos dois lados, e o produto PV também é o mesmo, a única possibilidade é que T' seja igual a T.

Passo 6

Raciocínio alternativo, mais intuitivo: com V fixo, da equação P = \dfrac{n R T}{V} vemos que P é proporcional a nT. Se eu duplicar n e quiser duplicar P, então preciso que o produto nT também duplique. Mas duplicando n por si só já duplica nT mesmo que T não mude; portanto não é necessário mudar T. Um exemplo numérico simples: suponha inicialmente n=1 e T=300 K; então nT=300. Se n vira 2 e T fica 300 K, então nT=600, ou seja, o produto dobrou e, com V constante, a pressão dobra.

Resposta

b) A temperatura absoluta final deve ser igual à temperatura absoluta inicial.

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