Onde T é medida em { }^{\circ} \mathrm{C} e x, y, z em metros.
a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P(1,-1,2) na direção do ponto Q(2,1,3).
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P ?
c) Encontre a taxa máxima de crescimento da temperatura em P.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em função das coordenadas e pede três coisas. Dados e perguntas, explicitamente:
T(x,y,z)=150x^{2}-4y^{2}+6z
Dados: o ponto P(1,-1,2) e o ponto Q(2,1,3).
Perguntas:
(a) Determinar a taxa de variação da temperatura em P na direção do ponto Q.
(b) Determinar a direção de maior crescimento da temperatura em P.
(c) Encontrar a taxa máxima de crescimento da temperatura em P.
Passo 2
O que é preciso saber (de forma bem direta e prática):
A taxa de variação de T na direção de um vetor unitário \mathbf{u} em um ponto é o derivada direcional D_{\mathbf{u}}T=\nabla T\cdot\mathbf{u}. Aqui \nabla T é o gradiente de T e “\cdot” é o produto escalar.
O gradiente \nabla T é o vetor das derivadas parciais:
Ele aponta na direção de maior crescimento de T e seu comprimento dá a taxa máxima de crescimento.
Vou então calcular \nabla T, avaliá-lo em P, normalizar a direção PQ e usar a fórmula do produto escalar.