Questão 1 - Entregar

A temperatura em um ponto ( x, y, z ) é dada por:
T(x, y, z)=150 x^{2}-4 y^{2}+6 z
Onde T é medida em { }^{\circ} \mathrm{C} e x, y, z em metros.
a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P(1,-1,2) na direção do ponto Q(2,1,3).
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P ?
c) Encontre a taxa máxima de crescimento da temperatura em P.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em função das coordenadas e pede três coisas. Dados e perguntas, explicitamente:
T(x,y,z)=150x^{2}-4y^{2}+6z
Dados: o ponto P(1,-1,2) e o ponto Q(2,1,3).
Perguntas:
  1. (a) Determinar a taxa de variação da temperatura em P na direção do ponto Q.
  2. (b) Determinar a direção de maior crescimento da temperatura em P.
  3. (c) Encontrar a taxa máxima de crescimento da temperatura em P.

Passo 2

O que é preciso saber (de forma bem direta e prática):
  • A taxa de variação de T na direção de um vetor unitário \mathbf{u} em um ponto é o derivada direcional D_{\mathbf{u}}T=\nabla T\cdot\mathbf{u}. Aqui \nabla T é o gradiente de T e “ \cdot” é o produto escalar.
  • O gradiente \nabla T é o vetor das derivadas parciais:
\nabla T=\left(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z}\right).
Ele aponta na direção de maior crescimento de T e seu comprimento dá a taxa máxima de crescimento.
Vou então calcular \nabla T, avaliá-lo em P, normalizar a direção PQ e usar a fórmula do produto escalar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de T:
\frac{\partial T}{\partial x}=300x,\qquad \frac{\partial T}{\partial y}=-8y,\qquad \frac{\partial T}{\partial z}=6.
Portanto o gradiente é
\nabla T(x,y,z)=(300x,\,-8y,\,6).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P(1,-1,2):
\nabla T(1,-1,2)=(300\cdot 1,\,-8\cdot(-1),\,6)=(300,\,8,\,6).
Este vetor já é muito informativo: ele indica a direção de aumento e será usado para as contas.

Passo 5

Encontrar a direção do ponto Q a partir de P. Primeiro o vetor \overrightarrow{PQ}:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-1,\;1-(-1),\;3-2)=(1,\,2,\,1).
Precisamos do vetor unitário nessa direção. O comprimento de \overrightarrow{PQ} é
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}.
Logo o vetor unitário na direção de Q é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,\,2,\,1).

Passo 6

Agora aplicar a fórmula da derivada direcional:
D_{\mathbf{u}}T(P)=\nabla T(P)\cdot\mathbf{u}.
Fazendo o produto escalar com \nabla T(P)=(300,8,6) e \mathbf{u}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1),
D_{\mathbf{u}}T(P)=\frac{1}{\sqrt{6}}\big(300\cdot 1 + 8\cdot 2 + 6\cdot 1\big) =\frac{1}{\sqrt{6}}\big(300+16+6\big)=\frac{322}{\sqrt{6}}.
Se quiser um valor aproximado, \sqrt{6}\approx 2,44949, então
\frac{322}{\sqrt{6}}\approx 131{,}49\\ \text{(graus Celsius por metro).}

Passo 7

Responder (b): a direção de maior crescimento em P é dada pelo próprio gradiente \nabla T(P). Portanto a direção (vetor) é
\nabla T(P)=(300,\,8,\,6).
Em muitos contextos pedem a direção como vetor unitário; nesse caso o vetor unitário na direção de maior crescimento é
\frac{\nabla T(P)}{\|\nabla T(P)\|}=\frac{1}{\sqrt{300^{2}+8^{2}+6^{2}}}(300,8,6).
Calcular a norma:
\|\nabla T(P)\|=\sqrt{300^{2}+8^{2}+6^{2}}=\sqrt{90100}=10\sqrt{901}.
Assim o vetor unitário é \dfrac{1}{10\sqrt{901}}(300,8,6).

Passo 8

Responder (c): a taxa máxima de crescimento em P é exatamente o comprimento do gradiente em P:
\max_{\|\mathbf{u}\|=1}D_{\mathbf{u}}T(P)=\|\nabla T(P)\|=10\sqrt{901}.
Valor aproximado: \;10\sqrt{901}\approx 300{,}17\\ \text{graus Celsius por metro.}

Resposta

(a) \dfrac{322}{\sqrt{6}}\approx 131{,}49\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}
(b) direção de maior crescimento: \nabla T(P)=(300,8,6). Vetor unitário correspondente: \dfrac{1}{10\sqrt{901}}(300,8,6)
(c) taxa máxima de crescimento: 10\sqrt{901}\approx 300{,}17\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}

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