Questão 3

Enunciado:
Resolva a Equação do Calor:
u_{t}=u_{x x}, \quad \operatorname{com} u(x, 0)=\frac{\sqrt{2}}{\pi} \cdot e^{-|x|}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor
u_{t}=u_{xx}
no domínio x\in\mathbb{R}, t>0, com condição inicial
u(x,0)=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\,e^{-|x|}.
Este é um problema de Cauchy na reta inteira. Vamos usar a solução fundamental (núcleo de calor) e o princípio de superposição, ou equivalentemente o método da transformada de Fourier, para escrever a solução como convolução da condição inicial com o núcleo de calor.

Passo 2

Recordando que o núcleo de calor na reta é
G(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi\,t}}\;e^{-\,\frac{x^{2}}{4t}},
a teoria diz que a solução do problema de Cauchy é
u(x,t)=\bigl(G(\cdot,t)*u(\cdot,0)\bigr)(x) =\int_{-\infty}^{\infty}G(x-y,t)\;u(y,0)\,\mathrm{d}y.

Passo 3

Substituindo u(y,0)=\tfrac{\sqrt{2}}{\pi}e^{-|y|} e G, obtemos
u(x,t) =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\sqrt{\pi\,t}} \,e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4t}} \;\frac{\sqrt{2}}{\pi}\,e^{-|y|}\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Logo, a solução pode ser escrita em forma de integral convolutional como
u(x,t) =\frac{\sqrt{2}}{2\pi\sqrt{\pi\,t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4t}-|y|}\,\mathrm{d}y.
Este é o resultado fechado em termos de núcleo de calor. Se desejarmos, podemos separar a integral em duas partes y\ge0 e y<0 e expressar o resultado final em termos de funções erro complementares, mas para a maior parte das aplicações esse formulário de convolução já é considerado solução explícita.

Resposta

\boxed{% u(x,t) =\frac{\sqrt{2}}{2\pi\sqrt{\pi\,t}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\Bigl(-\frac{(x-y)^{2}}{4t}-|y|\Bigr)\,\mathrm{d}y. }

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