Questão 3
Enunciado:
Resolva a Equação do Calor:
Resolva a Equação do Calor:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor
no domínio
,
, com condição inicial
Este é um problema de Cauchy na reta inteira. Vamos usar a solução fundamental (núcleo de calor) e o princípio de superposição, ou equivalentemente o método da transformada de Fourier, para escrever a solução como convolução da condição inicial com o núcleo de calor.
Passo 2
Recordando que o núcleo de calor na reta é
a teoria diz que a solução do problema de Cauchy é
Passo 3
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Logo, a solução pode ser escrita em forma de integral convolutional como
Este é o resultado fechado em termos de núcleo de calor. Se desejarmos, podemos separar a integral em duas partes
e
e expressar o resultado final em termos de funções erro complementares, mas para a maior parte das aplicações esse formulário de convolução já é considerado solução explícita.