Questão 1

Enunciado:

Calcule a Transformada de Fourier da função:
f(x)=\sin (x) \cdot \chi_{[-1,1]}(x)

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier da função
f(x)=\sin(x)\,\chi_{[-1,1]}(x),
ou seja, f(x)=\sin(x) para -1\le x\le1 e zero no restante.
Vamos usar a definição
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx =\int_{-1}^{1}\sin(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 2

Para lidar com \sin(x) dentro da integral, usamos a identidade de Euler:
\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.
Assim
\int_{-1}^{1}\sin(x)\,e^{-i\omega x}\,dx =\frac{1}{2i}\int_{-1}^{1}\bigl(e^{ix}-e^{-ix}\bigr)e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 3

Distribuindo o fator e^{-i\omega x}, obtemos duas integrais do tipo exponencial:
\int_{-1}^{1}\sin(x)\,e^{-i\omega x}\,dx =\frac{1}{2i}\Bigl[ \int_{-1}^{1}e^{-i(\omega-1)x}\,dx \;-\; \int_{-1}^{1}e^{-i(\omega+1)x}\,dx \Bigr].

Passo 4

Usamos o resultado padrão
\int_{-1}^{1}e^{-i a x}\,dx =\left[\frac{e^{-i a x}}{-i a}\right]_{-1}^{1} =\frac{e^{-i a}-e^{i a}}{-i a} =\frac{2\sin(a)}{a}.
Aplicando a cada integral com a=\omega-1 e a=\omega+1, vem
\int_{-1}^{1}e^{-i(\omega-1)x}\,dx =\frac{2\sin(\omega-1)}{\omega-1}, \quad \int_{-1}^{1}e^{-i(\omega+1)x}\,dx =\frac{2\sin(\omega+1)}{\omega+1}.

Passo 5

Substituindo no Passo 3,
\int_{-1}^{1}\sin(x)\,e^{-i\omega x}\,dx =\frac{1}{2i}\Bigl[ \frac{2\sin(\omega-1)}{\omega-1} -\frac{2\sin(\omega+1)}{\omega+1} \Bigr] =\frac{1}{i}\Bigl[ \frac{\sin(\omega-1)}{\omega-1} -\frac{\sin(\omega+1)}{\omega+1} \Bigr].
Como \tfrac{1}{i}=-\,i, podemos escrever de forma mais bonita:
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =-\,i\Bigl[ \frac{\sin(\omega-1)}{\omega-1} -\frac{\sin(\omega+1)}{\omega+1} \Bigr] =\,i\Bigl[ \frac{\sin(\omega+1)}{\omega+1} -\frac{\sin(\omega-1)}{\omega-1} \Bigr].

Resposta

\boxed{ \mathcal{F}\{\,\sin(x)\,\chi_{[-1,1]}(x)\}(\omega) =i\Bigl[ \frac{\sin(\omega+1)}{\omega+1} -\frac{\sin(\omega-1)}{\omega-1} \Bigr]. }

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