Questão 2

Enunciado:

Calcule a transformada inversa de Fourier da função:
g(\omega)=-i \omega e^{-\omega^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Fourier de
g(\omega) = -\,i\,\omega\,e^{-\omega^{2}}
Usaremos a convenção
f(t) \;=\;\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega
Aqui o conteúdo é Transformada de Fourier e usaremos a propriedade de que multiplicar por i\omega no domínio da frequência equivale a derivar em t, além da integral conhecida da Gaussiana.

Passo 2

Lembramos que a integral da Gaussiana deslocada no domínio de \omega é
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\omega^{2}}\,e^{i\omega t}\,d\omega =\sqrt{\pi}\,e^{-t^{2}/4}.
Isso é um resultado padrão que podemos usar diretamente.

Passo 3

Observamos que
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{i\omega t}\bigr) =i\,\omega\,e^{i\omega t},
então
\int_{-\infty}^{\infty}i\,\omega\,e^{-\omega^{2}}\,e^{i\omega t}\,d\omega =\frac{\partial}{\partial t} \!\Bigl[\!\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\omega^{2}}\,e^{i\omega t}\,d\omega\Bigr] =\frac{\partial}{\partial t}\bigl[\sqrt{\pi}\,e^{-t^{2}/4}\bigr].
Como g(\omega)=-\,i\,\omega\,e^{-\omega^{2}}, temos
\int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega =-\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl[\sqrt{\pi}\,e^{-t^{2}/4}\bigr].

Passo 4

Calculamos a derivada:
\frac{\partial}{\partial t}e^{-t^{2}/4} =-\frac{t}{2}\,e^{-t^{2}/4}.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega =-\sqrt{\pi}\,\Bigl(-\tfrac{t}{2}\,e^{-t^{2}/4}\Bigr) =\frac{t\,\sqrt{\pi}}{2}\,e^{-t^{2}/4}.
Aplicando a definição da inversa:
f(t)=\frac{1}{2\pi}\, \int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\,\frac{t\,\sqrt{\pi}}{2}\,e^{-t^{2}/4} =\frac{t}{4\sqrt{\pi}}\,e^{-t^{2}/4}.

Resposta

f(t)=\frac{t}{4\sqrt{\pi}}\,e^{-t^{2}/4}.

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