Questão 4
Enunciado:
Resolva a Equação de Laplace com condição de contorno:
Condições:
-
-
Resolva a Equação de Laplace com condição de contorno:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
com condições de contorno
O método a usar é separação de variáveis e expansão de
em série de senos, já que as condições em
e
são de Dirichlet homogêneas.
Passo 2
Suponho uma solução em série do tipo
Substituindo em
e dividindo por
leva a
A solução que decai para
é
. Logo
Passo 3
Para ajustar a condição em
, impomos
Isso é uma expansão de
em série de senos em
. Os coeficientes
vêm de
Passo 4
Calculo o coeficiente
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
Logo
Note que
se
é par e
se
é ímpar. Para
(ímpares)
e para
par
.
Passo 5
Substituindo em
fica