Questão 4

Enunciado:
Resolva a Equação de Laplace com condição de contorno:
u_{x x}+u_{y y}=0, \quad \text { em } 0<x<\pi, y>0
Condições:
  • u(0, y)=u(\pi, y)=0
  • u(x, 0)=f(x)=x(\pi-x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0,\quad 0<x<\pi,\;y>0
com condições de contorno
u(0,y)=0,\quad u(\pi,y)=0,\quad u(x,0)=f(x)=x(\pi-x).
O método a usar é separação de variáveis e expansão de f(x) em série de senos, já que as condições em x=0 e x=\pi são de Dirichlet homogêneas.

Passo 2

Suponho uma solução em série do tipo
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin(nx)\,V_{n}(y).
Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 e dividindo por \sin(nx)V_n(y) leva a
-\frac{n^2}{V_n(y)}+\frac{V_n''(y)}{V_n(y)}=0 \quad\Longrightarrow\quad V_n''(y)-n^2V_n(y)=0.
A solução que decai para y\to+\infty é V_n(y)=e^{-n y}. Logo
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin(nx)\,e^{-n y}.

Passo 3

Para ajustar a condição em y=0, impomos
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin(nx)=f(x)=x(\pi-x).
Isso é uma expansão de f em série de senos em (0,\pi). Os coeficientes A_n vêm de
A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Calculo o coeficiente
I_n=\int_{0}^{\pi}x(\pi-x)\,\sin(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
I_n=\frac{2}{n^3}\bigl(1+(-1)^{\,n+1}\bigr).
Logo
A_n=\frac{2}{\pi}I_n=\frac{4}{\pi\,n^3}\bigl(1+(-1)^{\,n+1}\bigr).
Note que 1+(-1)^{n+1}=0 se n é par e 2 se n é ímpar. Para n=2k-1 (ímpares)
A_{2k-1}=\frac{8}{\pi\,(2k-1)^3},
e para n par A_n=0.

Passo 5

Substituindo em u(x,y) fica
u(x,y) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{8}{\pi\,(2k-1)^3}\,\sin\bigl((2k-1)x\bigr)\,e^{-(2k-1)y}.

Resposta

u(x,y) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{8}{\pi\,(2k-1)^3}\,\sin\bigl((2k-1)x\bigr)\,e^{-(2k-1)y}.

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