Questão [q3]. Qual é a equação cilíndrica da superfície cuja equação esférica é \rho=4 ?
r^{2}+z^{2}=4
r^{2}+z^{2}=2
r^{2}+z^{2}=16
r^{2}+z^{2}=8
r=4

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a equação cilíndrica da superfície cuja equação esférica é \rho=4?”
Informações dadas:
  • A equação na coordenada esférica é \rho=4.
    O que se quer: escrever a mesma superfície usando coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa cada coordenada esférica e como ela se relaciona com o sistema cartesiano.
Na coordenada esférica usa-se o triplo (\rho,\theta,\varphi) onde:
  • \rho é a distância do ponto até a origem (isto é, o comprimento do vetor posição),
  • \theta é o ângulo no plano xy (o mesmo \theta da coordenada cilíndrica),
  • \varphi é o ângulo entre o eixo z positivo e o vetor posição.
As relações para passar da esférica para as coordenadas cartesianas são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.

Passo 3

Agora as coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) são definidas por:
  • r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (distância radial no plano xy),
  • \theta (mesmo ângulo azimutal do sistema esférico),
  • z (mesma coordenada z cartesiana).
As relações cartesianas-cilíndricas são:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.

Passo 4

Vamos ligar as duas representações. A partir das fórmulas da Passo 2, expressar r e z em função de \rho e \varphi:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi, \qquad z=\rho\cos\varphi.
Agora somando os quadrados r^{2}+z^{2} obtemos, usando a identidade trigonométrica \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1,
r^{2}+z^{2}=\rho^{2}\bigl(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi\bigr)=\rho^{2}.
Portanto, em geral vale a identidade
r^{2}+z^{2}=\rho^{2}.

Passo 5

A equação esférica dada é \rho=4. Substituindo esse valor na identidade r^{2}+z^{2}=\rho^{2} obtemos a equação cilíndrica que representa a mesma superfície:
r^{2}+z^{2}=4^{2}
ou seja,
r^{2}+z^{2}=16.
Interpretação geométrica (para fixar a ideia): \rho=4 é a esfera de raio 4 centrada na origem. A equação em coordenadas cilíndricas descreve exatamente essa esfera como uma relação entre a distância radial r no plano xy e a coordenada z. Observação rápida para evitar confusão: a equação r=4 seria um cilindro vertical de raio 4, não a esfera pedida.

Resposta

r^{2}+z^{2}=16

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