Questão [q3]. Qual é a equação cilíndrica da superfície cuja equação esférica é
?
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Passo 1
O enunciado pede: “Qual é a equação cilíndrica da superfície cuja equação esférica é
?”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação na coordenada esférica é
.
O que se quer: escrever a mesma superfície usando coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa cada coordenada esférica e como ela se relaciona com o sistema cartesiano.
Na coordenada esférica usa-se o triplo onde:
Na coordenada esférica usa-se o triplo
-
é a distância do ponto até a origem (isto é, o comprimento do vetor posição), -
é o ângulo no plano (o mesmo da coordenada cilíndrica), -
é o ângulo entre o eixo positivo e o vetor posição.
As relações para passar da esférica para as coordenadas cartesianas são:
Passo 3
Agora as coordenadas cilíndricas
são definidas por:
-
(distância radial no plano ), -
(mesmo ângulo azimutal do sistema esférico), -
(mesma coordenada cartesiana).
As relações cartesianas-cilíndricas são:
Passo 4
Vamos ligar as duas representações. A partir das fórmulas da Passo 2, expressar
e
em função de
e
:
Agora somando os quadrados
obtemos, usando a identidade trigonométrica
,
Portanto, em geral vale a identidade
Passo 5
A equação esférica dada é
. Substituindo esse valor na identidade
obtemos a equação cilíndrica que representa a mesma superfície:
ou seja,
Interpretação geométrica (para fixar a ideia):
é a esfera de raio
centrada na origem. A equação em coordenadas cilíndricas descreve exatamente essa esfera como uma relação entre a distância radial
no plano
e a coordenada
. Observação rápida para evitar confusão: a equação
seria um cilindro vertical de raio
, não a esfera pedida.