Questão 1 - A equação
, descreve o deslocamento transversal,
, de uma corda estendida ao longo do eixo
de posições, em um tempo
, onde
e
são constantes reais e positivas.
(a) Quais as unidades de
no sistema internacional (unidades da base: metro (m), segundo (s) e quilograma (kg))? (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
(b) Para uma solução do tipo
, onde
é constante, obtenha a equação diferencial que a função
satisfaz e, sem resolvê-la, indique as características do movimento da corda em uma posição
qualquer. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Se a corda está fixa em
e livre em
, qual os valores de
e
na solução dada no ítem (b)? (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(a) Quais as unidades de
(b) Para uma solução do tipo
(c) Se a corda está fixa em
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
é o deslocamento transversal, e
,
são constantes. Pede-se:
(a) unidades de no SI (base: metro, segundo, quilograma);
(b) para com
constante em
, obter a equação diferencial que
satisfaz e, sem resolver, descrever as características do movimento em uma posição
fixa;
(c) supondo que a corda está fixa em e livre em
, encontrar os valores de
e de
na solução do item (b).
(a) unidades de
(b) para
(c) supondo que a corda está fixa em
Passo 2
Vamos usar análise dimensional para achar as unidades de
. Primeiro observo as dimensões de cada termo da equação para que todos tenham as mesmas unidades.
A derivada temporal de segunda ordem
tem unidades de
divididas por
. Como aparece multiplicada por
, o fator
tem unidades de
(porque
tem unidades de
, então
tem
). Assim o produto
tem unidades de
.
A derivada espacial
tem unidades de
— consistente com o termo anterior.
Portanto o termo
também deve ter unidades
. Isso implica que
tem unidades
. Multiplicando por
(unidades
) obtemos que
tem unidades
. Logo
tem unidades de
.
Passo 3
Agora trato do item (b). Substituo
na equação e calculo as derivadas necessárias, passo a passo.
Derivada temporal de segunda ordem:
Derivada espacial de segunda ordem:
Substituindo na PDE:
Simplificando (fatorando
, que para modos não triviais não é identicamente nulo):
Multiplicando por
obtemos a equação ordinária para
:
Passo 4
Interpretação física da equação obtida (características do movimento em uma posição
fixa), sem resolver explicitamente:
A equação
com
é a equação do oscilador harmônico simples (sem amortecimento). Para
(aqui sempre verdade pois
e
) a solução em
é oscilatória:
é combinação linear de funções
e
, portanto
descreve oscilações periódicas com frequência angular
.
As características importantes:
- movimento oscilatório harmônico em cada posição
(a amplitude em é multiplicada por ); - frequência angular
; - frequência (ciclos por segundo)
; - período
; - não há amortecimento (energia não se perde no modelo linear dado); a amplitude temporal depende das condições iniciais.
Passo 5
Passo (c): aplicar as condições de contorno.
Condição em
: corda fixa implica
para todo
. Substituo:
Para soluções não triviais (
não identicamente zero) é necessário
. Como
, isso dá
Condição em
: extremidade livre corresponde à ausência de força transversal aplicada, que para uma corda linear se traduz em derivada espacial nula:
Calculo a derivada espacial:
Em
isto dá
. Para
e
não nula, precisamos de
Substituindo
obtemos
Logo os valores permitidos de
são
(escolhemos
positivos para cobrir os modos com
).
Resposta
(a)
tem unidades de
.\n
(b) . Movimento em
fixo: oscilatório harmônico com
, período
e frequência
.\n
(c) e
, com
.
(b)
(c)