Questão 1 - A equação \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+\frac{\Gamma^{2}}{c^{2}} \psi=0, descreve o deslocamento transversal, \psi(x, t), de uma corda estendida ao longo do eixo x de posições, em um tempo t, onde c e \Gamma são constantes reais e positivas.
(a) Quais as unidades de \Gamma no sistema internacional (unidades da base: metro (m), segundo (s) e quilograma (kg))? (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
(b) Para uma solução do tipo \psi(x, t)=f(t) \cos (k x+\varphi), onde 0 \leq \varphi \leq \pi é constante, obtenha a equação diferencial que a função f(t) satisfaz e, sem resolvê-la, indique as características do movimento da corda em uma posição x qualquer. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Se a corda está fixa em x=0 e livre em x=L, qual os valores de \varphi e k na solução dada no ítem (b)? (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\Gamma^{2}}{c^{2}}\psi=0,
onde \psi(x,t) é o deslocamento transversal, e c>0, \Gamma>0 são constantes. Pede-se:
(a) unidades de \Gamma no SI (base: metro, segundo, quilograma);
(b) para \psi(x,t)=f(t)\cos(kx+\varphi) com \varphi constante em [0,\pi], obter a equação diferencial que f(t) satisfaz e, sem resolver, descrever as características do movimento em uma posição x fixa;
(c) supondo que a corda está fixa em x=0 e livre em x=L, encontrar os valores de \varphi e de k na solução do item (b).

Passo 2

Vamos usar análise dimensional para achar as unidades de \Gamma. Primeiro observo as dimensões de cada termo da equação para que todos tenham as mesmas unidades.
A derivada temporal de segunda ordem \frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}} tem unidades de \psi divididas por \mathrm{s}^{2}. Como aparece multiplicada por \frac{1}{c^{2}}, o fator \frac{1}{c^{2}} tem unidades de \mathrm{s}^{2}\!/\mathrm{m}^{2} (porque c tem unidades de \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}, então c^{2} tem \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}). Assim o produto \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}} tem unidades de \psi/\mathrm{m}^{2}.
A derivada espacial \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} tem unidades de \psi/\mathrm{m}^{2} — consistente com o termo anterior.
Portanto o termo \frac{\Gamma^{2}}{c^{2}}\psi também deve ter unidades \psi/\mathrm{m}^{2}. Isso implica que \frac{\Gamma^{2}}{c^{2}} tem unidades \mathrm{m}^{-2}. Multiplicando por c^{2} (unidades \mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-2}) obtemos que \Gamma^{2} tem unidades \mathrm{s}^{-2}. Logo \Gamma tem unidades de \mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Agora trato do item (b). Substituo \psi(x,t)=f(t)\cos(kx+\varphi) na equação e calculo as derivadas necessárias, passo a passo.
Derivada temporal de segunda ordem:
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=f''(t)\cos(kx+\varphi).
Derivada espacial de segunda ordem:
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=f(t)\frac{d^{2}}{dx^{2}}\cos(kx+\varphi)=f(t)\cdot(-k^{2})\cos(kx+\varphi)=-k^{2}f(t)\cos(kx+\varphi).
Substituindo na PDE:
\frac{1}{c^{2}}f''(t)\cos(kx+\varphi)-\big(-k^{2}f(t)\cos(kx+\varphi)\big)+\frac{\Gamma^{2}}{c^{2}}f(t)\cos(kx+\varphi)=0.
Simplificando (fatorando \cos(kx+\varphi), que para modos não triviais não é identicamente nulo):
\frac{1}{c^{2}}f''(t)+k^{2}f(t)+\frac{\Gamma^{2}}{c^{2}}f(t)=0.
Multiplicando por c^{2} obtemos a equação ordinária para f(t):
f''(t)+\big(k^{2}c^{2}+\Gamma^{2}\big)f(t)=0.

Passo 4

Interpretação física da equação obtida (características do movimento em uma posição x fixa), sem resolver explicitamente:
A equação
f''(t)+\omega^{2}f(t)=0,
com
\omega^{2}=k^{2}c^{2}+\Gamma^{2},
é a equação do oscilador harmônico simples (sem amortecimento). Para \omega^{2}>0 (aqui sempre verdade pois k^{2}c^{2}\ge0 e \Gamma^{2}>0) a solução em t é oscilatória: f(t) é combinação linear de funções \cos(\omega t) e \sin(\omega t), portanto f(t) descreve oscilações periódicas com frequência angular \omega.
As características importantes:
  • movimento oscilatório harmônico em cada posição x (a amplitude em x é f(t) multiplicada por \cos(kx+\varphi));
  • frequência angular \omega=\sqrt{k^{2}c^{2}+\Gamma^{2}};
  • frequência (ciclos por segundo) \nu=\frac{\omega}{2\pi};
  • período T=\frac{2\pi}{\omega};
  • não há amortecimento (energia não se perde no modelo linear dado); a amplitude temporal depende das condições iniciais.

Passo 5

Passo (c): aplicar as condições de contorno.
Condição em x=0: corda fixa implica \psi(0,t)=0 para todo t. Substituo:
\psi(0,t)=f(t)\cos(\varphi)=0\quad\forall t.
Para soluções não triviais ( f não identicamente zero) é necessário \cos(\varphi)=0. Como \varphi\in[0,\pi], isso dá
\varphi=\frac{\pi}{2}.
Condição em x=L: extremidade livre corresponde à ausência de força transversal aplicada, que para uma corda linear se traduz em derivada espacial nula:
\frac{\partial\psi}{\partial x}(L,t)=0\quad\forall t.
Calculo a derivada espacial:
\frac{\partial\psi}{\partial x}=-k f(t)\sin(kx+\varphi).
Em x=L isto dá -k f(t)\sin(kL+\varphi)=0. Para k\neq 0 e f não nula, precisamos de
\sin(kL+\varphi)=0 \;\Longrightarrow\; kL+\varphi = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Substituindo \varphi=\frac{\pi}{2} obtemos
kL+\frac{\pi}{2}=n\pi \quad\Rightarrow\quad kL=\left(n-\tfrac{1}{2}\right)\pi=\frac{(2n-1)\pi}{2}.
Logo os valores permitidos de k são
k=\frac{(2n-1)\pi}{2L},\qquad n=1,2,3,\dots
(escolhemos n positivos para cobrir os modos com k>0).

Resposta

(a) \Gamma tem unidades de \mathrm{s}^{-1}.\n
(b) f''(t)+\big(k^{2}c^{2}+\Gamma^{2}\big)f(t)=0. Movimento em x fixo: oscilatório harmônico com \omega=\sqrt{k^{2}c^{2}+\Gamma^{2}}, período T=\dfrac{2\pi}{\omega} e frequência \nu=\dfrac{\omega}{2\pi}.\n
(c) \varphi=\dfrac{\pi}{2} e k=\dfrac{(2n-1)\pi}{2L}, com n=1,2,3,\dots.

Exercícios relacionados