Resolva os problemas de valor inicial abaixo?:
y "+y=\cos x-\sin x, y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, y^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
y'' + y = \cos x - \sin x
com as condições iniciais
y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0, \quad y'\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0.
Este é um problema de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' + y = 0
temos a equação característica r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r=\pm i. Logo
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular de
y'' + y = \cos x - \sin x,
como \cos x e \sin x são soluções da homogênea, tentamos
y_p(x) = x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
Derivando:
y_p' = A\cos x - A x\sin x + B\sin x + B x\cos x,
y_p'' = -2A\sin x - A x\cos x + 2B\cos x - B x\sin x.
Substituindo em y'' + y:
y_p'' + y_p = \bigl(-2A\sin x - A x\cos x + 2B\cos x - B x\sin x\bigr) + x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) = -2A\sin x + 2B\cos x.
Igualando a \cos x - \sin x obtém-se
-2A = -1, \quad 2B = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac12, \;B = \tfrac12.
Portanto
y_p(x) = \frac x2\bigl(\cos x + \sin x\bigr).

Passo 4

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac x2\bigl(\cos x + \sin x\bigr).

Passo 5

Derivando para aplicar a segunda condição inicial:
y'(x) = -C_1\sin x + C_2\cos x + \frac12\bigl(\cos x + \sin x\bigr) + \frac x2\bigl(-\sin x + \cos x\bigr).

Passo 6

Impondo y(\tfrac\pi2)=0:
y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = C_1\cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac\pi2\bigr) + \frac{\pi/2}{2}\bigl(0+1\bigr) = 0 + C_2 + \frac\pi4 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = -\frac\pi4.
Impondo y'(\tfrac\pi2)=0:
y'\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = -C_1\cdot1 + C_2\cdot0 + \frac12\bigl(0+1\bigr) + \frac{\pi/2}{2}\bigl(-1+0\bigr) = -C_1 + \frac12 - \frac\pi4 = 0 \;\Longrightarrow\; C_1 = \frac12 - \frac\pi4.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral:
y(x) = \Bigl(\tfrac12 - \tfrac\pi4\Bigr)\cos x - \frac\pi4\,\sin x + \frac x2\bigl(\cos x + \sin x\bigr).

Resposta

y(x) = \Bigl(\tfrac12 - \tfrac\pi4\Bigr)\cos x - \frac\pi4\,\sin x + \frac x2\bigl(\cos x + \sin x\bigr).

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