Questão 6. O vetor normal \vec{n} do plano que passa pelo ponto A=(1,2,1), e é perpendicular aos planos \pi_{1}: x-y+6 z+2=0 e \pi_{2}: 2 x+3 y-z-1=0 é:
Passo 1
O enunciado dá:
O ponto A=(1,2,1).
O plano \pi_{1}: x-y+6z+2=0.
O plano \pi_{2}: 2x+3y-z-1=0.
O que pede:
Encontrar o vetor normal \vec{n} do plano que passa por A e que é perpendicular aos planos \pi_{1} e \pi_{2}.
Passo 2
Primeira ideia clara (sem resolver ainda): todo plano dado por ax+by+cz+d=0 tem vetor normal (a,b,c), ou seja, os coeficientes de x,y,z. Portanto extraímos os vetores normais dos planos dados:
O vetor normal de \pi_{1} é \vec{n}_1=(1,-1,6).
O vetor normal de \pi_{2} é \vec{n}_2=(2,3,-1).
Passo 3
Agora uma propriedade importante e intuitiva (explicada devagar): se um plano \Pi é perpendicular a outro plano \pi, então o vetor normal de \Pi é perpendicular ao vetor normal de \pi. Aqui queremos um plano \Pi que seja perpendicular a \pi_{1} e a \pi_{2}. Logo o vetor normal \vec{n} de \Pi deve ser perpendicular a \vec{n}_1 e a \vec{n}_2 simultaneamente; isto é,
Um jeito direto de produzir um vetor perpendicular a dois vetores é usar o produto vetorial (cross product). O produto vetorial \vec{n}_1\times\vec{n}_2 é, por construção, perpendicular a \vec{n}_1 e a \vec{n}_2. Portanto podemos escolher
\vec{n}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2.
Passo 4
Calcular o produto vetorial passo a passo. Usando a forma determinantal: