Questão 6. O vetor normal \vec{n} do plano que passa pelo ponto A=(1,2,1), e é perpendicular aos planos \pi_{1}: x-y+6 z+2=0 e \pi_{2}: 2 x+3 y-z-1=0 é:

Passo 1

O enunciado dá:
  • O ponto A=(1,2,1).
  • O plano \pi_{1}: x-y+6z+2=0.
  • O plano \pi_{2}: 2x+3y-z-1=0.
O que pede:
  • Encontrar o vetor normal \vec{n} do plano que passa por A e que é perpendicular aos planos \pi_{1} e \pi_{2}.

Passo 2

Primeira ideia clara (sem resolver ainda): todo plano dado por ax+by+cz+d=0 tem vetor normal (a,b,c), ou seja, os coeficientes de x,y,z. Portanto extraímos os vetores normais dos planos dados:
  • O vetor normal de \pi_{1} é \vec{n}_1=(1,-1,6).
  • O vetor normal de \pi_{2} é \vec{n}_2=(2,3,-1).

Passo 3

Agora uma propriedade importante e intuitiva (explicada devagar): se um plano \Pi é perpendicular a outro plano \pi, então o vetor normal de \Pi é perpendicular ao vetor normal de \pi. Aqui queremos um plano \Pi que seja perpendicular a \pi_{1} e a \pi_{2}. Logo o vetor normal \vec{n} de \Pi deve ser perpendicular a \vec{n}_1 e a \vec{n}_2 simultaneamente; isto é,
\vec{n}\cdot\vec{n}_1=0 \qquad\text{e}\qquad \vec{n}\cdot\vec{n}_2=0.
Um jeito direto de produzir um vetor perpendicular a dois vetores é usar o produto vetorial (cross product). O produto vetorial \vec{n}_1\times\vec{n}_2 é, por construção, perpendicular a \vec{n}_1 e a \vec{n}_2. Portanto podemos escolher
\vec{n}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2.

Passo 4

Calcular o produto vetorial passo a passo. Usando a forma determinantal:
\vec{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & 6 \\\\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
Componente x (coeficiente de \mathbf{i}):
n_x = (-1)\cdot(-1) - 6\cdot 3 = 1-18 = -17.
Componente y (coeficiente de \mathbf{j}; lembrar do sinal negativo da expansão):
n_y = -\bigl(1\cdot(-1) - 6\cdot 2\bigr) = -(-1-12)= -(-13)=13.
Componente z (coeficiente de \mathbf{k}):
n_z = 1\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 3+2 = 5.
Portanto
\vec{n}=(-17,\,13,\,5).

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar): confirmar que \vec{n} é ortogonal a \vec{n}_1 e \vec{n}_2.
Cálculo:
\vec{n}\cdot\vec{n}_1 = (-17)\cdot 1 + 13\cdot(-1) + 5\cdot 6 = -17-13+30 = 0,
\vec{n}\cdot\vec{n}_2 = (-17)\cdot 2 + 13\cdot 3 + 5\cdot(-1) = -34+39-5 = 0.
Ambos zero, portanto está correto.
Obs.: qualquer múltiplo escalar de \vec{n} também é um vetor normal válido; escolhemos (-17,13,5) como representante inteiro simples.

Resposta

\vec{n}=(-17,\,13,\,5)

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