Questão 5. Qual a equação do plano determinado pelos pontos A(-2,3,3), B(2,-4,1) e C(3,1,-3) ?

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano determinado pelos pontos A(-2,3,3), B(2,-4,1) e C(3,1,-3).
Informações dadas:
  • A = (-2,3,3).
  • B = (2,-4,1).
  • C = (3,1,-3).
Pergunta: encontrar a equação do plano que passa por esses três pontos.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem detalhes técnicos ainda): obter um vetor normal ao plano a partir de dois vetores diretores do plano e então usar a forma vetorial da equação do plano.
Primeiro passo prático: calcular dois vetores que ficam no plano, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Lembrete rápido: dado dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), o vetor \overrightarrow{PQ} tem componentes
\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Agora calculamos:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-(-2),\;-4-3,\;1-3) = (4,\,-7,\,-2).
\overrightarrow{AC} = C - A = (3-(-2),\;1-3,\;-3-3) = (5,\,-2,\,-6).

Passo 3

Agora precisamos de um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Conceito: o produto vetorial (cross product) de dois vetores do plano gera um vetor perpendicular ao plano. Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Aplicando a fórmula a \overrightarrow{AB}=(4,-7,-2) e \overrightarrow{AC}=(5,-2,-6):
  • Componente x (primeira): (-7)\cdot(-6) - (-2)\cdot(-2) = 42 - 4 = 38.
  • Componente y (segunda): (-2)\cdot5 - 4\cdot(-6) = -10 - (-24) = -10 +24 = 14. Observação: pela fórmula canônica a segunda componente vem como u_3v_1-u_1v_3, o que coincide com este cálculo.
  • Componente z (terceira): 4\cdot(-2) - (-7)\cdot5 = -8 - (-35) = -8 +35 = 27.
Logo um vetor normal ao plano é
\mathbf{n}=(38,\;14,\;27).

Passo 4

Fórmula da equação do plano a partir de um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) e de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) no plano: o produto escalar \mathbf{n}\cdot (X-P_0)=0, onde X=(x,y,z). Em forma algébrica:
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui a=38, b=14, c=27. Podemos usar o ponto A(-2,3,3) como P_0. Então:
38(x-(-2))+14(y-3)+27(z-3)=0,
ou seja
38(x+2)+14(y-3)+27(z-3)=0.

Passo 5

Agora expandir e simplificar a equação passo a passo:
38x+76+14y-42+27z-81=0.
Somando as constantes:
76-42-81 = -47.
Portanto a equação fica
38x+14y+27z-47=0.

Passo 6

Verificação rápida: substituir os pontos A, B e C na equação deve dar zero.
  • Para A(-2,3,3):
38(-2)+14\cdot3+27\cdot3-47 = -76+42+81-47 = 0.
  • Para B(2,-4,1):
38\cdot2+14(-4)+27\cdot1-47 = 76-56+27-47 = 0.
  • Para C(3,1,-3):
38\cdot3+14\cdot1+27(-3)-47 = 114+14-81-47 = 0.
Todas dão zero, então a equação está correta. Observação: os coeficientes não têm um divisor comum inteiro maior que 1, portanto a forma encontrada já está simplificada.

Resposta

38x+14y+27z-47=0

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