Questão 2. Dê a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto p pedido
sin (x y)=x+y no ponto p=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da curva definida implicitamente por sin(xy)=x+y no ponto p=(0,0). Para isso, vamos usar derivação implícita e, em seguida, a equação da reta a partir da inclinação encontrada.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y)=sin(xy)-x-y
de modo que a curva é F(x,y)=0. Aplicando derivação implícita temos
partial Fpartial x + partial Fpartial y,y' = 0,
onde y'=dydx.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Fpartial x = ycos(xy)-1, partial Fpartial y = xcos(xy)-1
No ponto (0,0) temos xy=0 e cos(0)=1, então
partial Fpartial x(0,0) = 0cdot1 - 1 = -1, partial Fpartial y(0,0) = 0cdot1 - 1 = -1
Assim,
y' = -partial Fpartial xpartial Fpartial y = --1-1 = -1

Passo 4

A inclinação da reta tangente é m=-1. Como ela passa por (0,0), a equação é
y - 0 = -1l(x - 0r),
ou seja y=-x.

Resposta

A reta tangente no ponto p=(0,0) é
y = -x

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