Questão 2. Dê a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto p pedido
e^x+y=x^2-y^2+1 no ponto p=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da curva definida implicitamente por
e^x+y = x^2 - y^2 + 1
no ponto p = (0,0). Para isso, vamos usar derivação implícita para achar a inclinação y'=dydx da curva em qualquer ponto e então avaliar em (0,0).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
e^x+y = x^2 - y^2 + 1
em relação a x, obtemos
ddxl(e^x+yr) = ddxl(x^2 - y^2 + 1r)
O lado esquerdo, pela cadeia, dá
e^x+y,l(1 + y'r),
e o lado direito dá
2x - 2y,y'
Logo a igualdade é
e^x+y,(1 + y') = 2x - 2y,y'

Passo 3

Isolando y', reúnem-se os termos com y' de um lado:
e^x+y + e^x+yy' = 2x - 2y,y' Longrightarrow e^x+yy' + 2y,y' = 2x - e^x+y
Fatorando y':
y',l(e^x+y + 2yr) = 2x - e^x+y Longrightarrow y' = 2x - e^x+y,e^x+y + 2y,

Passo 4

Avaliaremos a inclinação em (0,0). Note que e^0+0=1 e y=0, então
y'(0,0) = 2cdot0 - 1,1 + 2cdot0, = -11 = -1
A inclinação da reta tangente em p é m=-1.

Passo 5

A equação da reta tangente de inclinação m passando por (0,0) é
y - 0 = m,(x - 0) Longrightarrow y = -x

Resposta

A reta tangente ao gráfico no ponto (0,0) é
boxedy = -x

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