Usando o método de redução de ordem, determine a solução geral de
x^2(x+3) y^prime prime prime-3 x(x+2) y^prime prime+6(1+x) y^prime-6 y=0
para x>0, sabendo que y=x^2 é uma solução da equação.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de terceira ordem
x^2(x+3),y'''-3x(x+2),y''+6(1+x),y'-6y=0, x>0,
sabendo que y1=x^2 é uma solução. O método de redução de ordem nos diz para buscar uma nova solução na forma
y = y1,u(x) = x^2u(x)
Precisaremos expressar y',y'',y''' em função de u,u',u'',u''' e então reduzir a ordem da EDO.

Passo 2

Substituindo
na equação original e fazendo simplificações (agrupando termos em :
Dividindo por (válido em ) e definindo , vem
que é uma EDO de primeira ordem em .

Passo 3

Resolvendo
w'w = -,3(x+4)x(x+3),
integramos:
ln|w| = -3integral x+4x(x+3),dx = -3l(tfrac43ln x -tfrac13ln(x+3)r) = ln!l(tfracx+3x^4r)+C1
Logo
w = u'' = C1,x+3x^4

Passo 4

Agora integramos duas vezes para achar u. Primeiro,
u' = integral u'',dx = C1integralx+3x^4,dx = C1l(-tfrac12x^2-tfrac1x^3r)+C2
Depois,
u = integral u',dx = C2,x + C1integrall(-tfrac12x^2-tfrac1x^3r)dx +C3 = C2,x + C1l(tfrac12x+tfrac12x^2r)+C3

Passo 5

Retornando a y = x^2u, temos
y = x^2l(C2x + C1l(tfrac12x+tfrac12x^2r)+C3r) = C2,x^3 + tfracC12(x+1) + C3,x^2
Como C1,C2,C3 são constantes arbitrárias, podemos reescrever a solução geral como combinação linear das três soluções independentes
y1=x^2, y2=x+1, y3=x^3

Resposta

A solução geral é
boxed y = A,x^2 + B,(x+1) + C,x^3, A,B,CinR

Exercícios relacionados