Usando o método de redução de ordem, determine a solução geral de
para
, sabendo que
é uma solução da equação.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear de terceira ordem
sabendo que
é uma solução. O método de redução de ordem nos diz para buscar uma nova solução na forma
Precisaremos expressar
em função de
e então reduzir a ordem da EDO.
Passo 2
Substituindo
na equação original e fazendo simplificações (agrupando termos em :
Dividindo por
(válido em
) e definindo
, vem
que é uma EDO de primeira ordem em
.
Passo 3
Resolvendo
integramos:
Logo
Passo 4
Agora integramos duas vezes para achar
. Primeiro,
Depois,
Passo 5
Retornando a
, temos
Como
são constantes arbitrárias, podemos reescrever a solução geral como combinação linear das três soluções independentes
Resposta
A solução geral é