Questão 2. Dê a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto p pedido
x y+y^2=3^y no ponto p=(2,1)

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x,y + y^2 = 3^y
e pede a reta tangente no ponto p=(2,1). Vamos usar derivação implícita para encontrar y' e depois escrever a equação da reta com coeficiente angular y'(2,1).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de x,y + y^2 = 3^y em relação a x:
O lado esquerdo gera
ddx(x,y)=y + x,y', ddx(y^2)=2y,y',
e o lado direito gera
ddxl(3^yr)=3^yln(3),y'
Logo,
y + x,y' + 2y,y' = 3^yln(3),y'

Passo 3

Isolando y' na equação
y + (x+2y),y' = 3^yln(3),y' Longrightarrow y' l(x+2y -3^yln(3)r) = -y
therefore y' = -,y,x+2y -3^yln(3),
No ponto (2,1) temos
y'(2,1) = -12 + 2cdot1 - 3^1ln(3) = -14 - 3ln(3)

Passo 4

A equação da reta tangente em p=(2,1) com coeficiente angular m=y'(2,1) é
y - 1 = -14 - 3ln(3),(x - 2)

Resposta

y - 1 = -14 - 3ln(3),(x - 2)

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