QUESTÃO 2

A equação y+2=(x-1)^{2} representa uma parábola do tipo y=x^{2} transladada para o ponto:
(A) x=-1 e y=-2.
(B) x=-1 e y=2.
(C) x=1 e y=-2.
(D) x=1 e y=2.
(E) x=-2 e x=-1.

Passo 1

O enunciado dá a equação y+2=(x-1)^{2} e pergunta para qual ponto a parábola y=x^{2} foi transladada. Informações relevantes dadas:
  • A curva original é y=x^{2} (vértice em (0,0)).
  • A curva transformada satisfaz y+2=(x-1)^{2}.
  • Devemos identificar o ponto para o qual a parábola foi transladada (ou seja, o novo vértice).

Passo 2

Isolamos y para ver a forma da parábola de modo explícito. Subtraindo 2 de ambos os lados da equação obtemos:
y = (x-1)^{2} - 2.
Aqui mostrei o passo: y+2=(x-1)^2 \Rightarrow y=(x-1)^2-2.

Passo 3

Vou te explicar um conceito simples e poderoso: a forma de vértice de uma parábola. A forma
y=(x-h)^{2}+k
representa uma parábola cujo vértice está exatamente em (h,k). Por que isso é verdade? Porque o termo (x-h)^{2} é sempre maior ou igual a 0; ele atinge o mínimo 0 quando x=h. Nesse caso y=k. Portanto o ponto (x,y)=(h,k) é o vértice (o ponto de menor y se o coeficiente de (x-h)^2 for positivo, como aqui).
Explicando a interpretação prática:
  • Se temos (x-h), isso desloca a parábola na direção horizontal: para a direita quando h>0 e para a esquerda quando h<0.
  • Se acrescentamos +k fora do quadrado, isso desloca a parábola na direção vertical: para cima quando k>0 e para baixo quando k<0.
Exemplo rápido e concreto: y=(x-3)^{2} tem vértice em (3,0) (é a parábola y=x^{2} deslocada 3 unidades para a direita). Já y=x^{2}+4 tem vértice em (0,4) (deslocada 4 unidades para cima).

Passo 4

Compare a nossa equação reescrita com a forma de vértice:
y = (x-1)^{2} - 2
Aqui podemos identificar h=1 e k=-2. Pelo argumento do passo anterior, o vértice é (h,k)=(1,-2).

Passo 5

Verificação numérica simples (faça isso na prova para se garantir): substitua x=1 na equação
y=(1-1)^{2}-2 = 0-2 = -2,
logo o ponto (1,-2) pertence à parábola e é o ponto onde (x-1)^{2} é zero, isto é, o vértice.
Interpretação em termos de translação da parábola y=x^{2}: o vértice original (0,0) foi movido 1 unidade para a direita (de 0 para 1) e 2 unidades para baixo (de 0 para -2), resultando em (1,-2).

Resposta

(C) x=1 e y=-2

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