Podemos afirmar que valor de \left|x^{2}+1\right|, é igual a:
(A) x^{2}+1.
(B) -\left(x^{2}+1\right).
(C) -x^{2}+1.
(D) x^{2}-1.
(E) Não é possível concluir, pois não se conhece os valores de x.
Passo 1
O enunciado pede para afirmar o valor de \left|x^{2}+1\right| entre as alternativas:
(A) \;x^{2}+1.
(B) \;-\left(x^{2}+1\right).
(C) \;-x^{2}+1.
(D) \;x^{2}-1.
(E) Não é possível concluir, pois não se conhece os valores de x.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas pelo enunciado: \;x é uma variável real (domínio usual) e a expressão considerada é \;x^{2}+1.
Passo 2
Vamos lembrar a definição básica de valor absoluto. Para qualquer número real \;a:
|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a < 0. \end{cases}
Isto quer dizer: se o que está dentro do módulo é não negativo, o módulo devolve o próprio número; se é negativo, o módulo devolve o oposto (positivo).]
Passo 3
Agora uma lição bem prática sobre quadrados: para qualquer real \;x vale que \;x^{2}\ge 0. Porque ao multiplicar um número por ele mesmo o produto nunca é negativo (positivo se x\neq0 e zero se x=0). Exemplos rápidos: \;2^{2}=4\ge0, (-3)^{2}=9\ge0, \;0^{2}=0.
Passo 4
Somando 1 a \;x^{2} obtemos
x^{2}+1 \ge 0+1 = 1.
Portanto \;x^{2}+1 é sempre maior ou igual a \;1, isto é, é sempre positivo para todo x real.
Passo 5
Como a quantidade dentro do módulo é sempre positiva, aplicamos a propriedade do módulo do Passo 2 com a=x^{2}+1. Como a\ge1>0, temos
\left|x^{2}+1\right| = x^{2}+1.
Passo 6
Cheque rápido nas demais alternativas para ficar seguro:
(B) -\left(x^{2}+1\right) é negativo (ou zero?)? Não — como \;x^{2}+1>0, seu negativo é <0, logo não coincide com o módulo (que é ≥0).
(C) -x^{2}+1 pode ser igual ao módulo só em casos esporádicos (por exemplo x=0 dá 1), mas não para todo x (ex.: x=2 dá -3 vs módulo 5), então é incorreta.
(D) x^{2}-1 também falha (ex.: x=0 dá -1 vs módulo 1).
(E) é falsa porque, mesmo sem conhecer x, concluímos que x^{2}+1 é sempre positivo e, portanto, podemos determinar o módulo.