QUESTÃO 13

Podemos afirmar que valor de |x+1| é igual a:
(A) x+1.
(B) -(x+1).
C x-1.
(D) 1-x.
(E) Não é possível concluir, pois não se conhece os valores de x.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas representa o valor de |x+1|. As alternativas são:
(A) \,x+1.
(B) \,-(x+1).
(C) \,x-1.
(D) \,1-x.
(E) Não é possível concluir, pois não se conhece os valores de x.
Informações relevantes dadas: apenas a expressão cuja valor precisamos reconhecer é |x+1|. Não há restrição adicional sobre x.

Passo 2

Entendendo o que é valor absoluto (mini-aula rápida e prática).
O valor absoluto de um número é a sua distância até zero na reta numérica. Formalmente, para qualquer número real \,t\), \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t \ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t < 0. \end{cases}
Aqui cada caso significa: se t\] já é não negativo, o módulo é ele mesmo; se \(t é negativo, o módulo é o número com sinal trocado (positivo).]

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso |x+1|\). Tomamos \(t = x+1\). Usando a fórmula do passo anterior: \[|x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{se } x+1 \ge 0,\\[4pt] -(x+1), & \text{se } x+1 < 0. \end{cases}
Reescrevendo as condições em termos de x\]: \[|x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{se } x \ge -1,\\[4pt] -(x+1), & \text{se } x < -1. \end{cases}\] Isso já nos mostra que \(|x+1| pode ser igual a \,x+1 ou a \,-(x+1) dependendo do valor de x.]

Passo 4

Comparando com as alternativas A e B:
  • A diz |x+1| = x+1. Isso é verdadeiro quando x \ge -1, mas não é verdadeiro para x<-1.
  • B diz |x+1| = -(x+1). Isso é verdadeiro quando x < -1, mas não é verdadeiro para x\ge -1.
    Logo nem A nem B são verdadeiras para todos os x; cada uma corresponde a um ramo da definição por partes.

Passo 5

Mostrando que (C) e (D) são incorretas em geral:
  • (C) afirma |x+1| = x-1. Compare os termos: x-1 difere de x+1 por 2 unidades. Por exemplo, para x=0:
|0+1| = 1,\qquad x-1 = 0-1 = -1,
logo 1 \neq -1, então (C) falha.
  • (D) afirma |x+1| = 1-x. Note que 1-x = -x+1 enquanto -(x+1) = -x-1; os termos constantes são diferentes ( +1 versus -1), então não podem coincidir para todos os x. Por exemplo, para x=-2:
|{-2}+1| = |{-1}| = 1,\qquad 1-x = 1-(-2)=3,
logo 1 \neq 3, então (D) também falha.

Passo 6

Concluindo com exemplos que motivam a resposta:
  • Se x=0 (que satisfaz x\ge-1), então |x+1|=1 e |x+1| = x+1 (alternativa A funciona aqui).
  • Se x=-2 (que satisfaz x<-1), então |x+1|=1 e |x+1| = -(x+1) (alternativa B funciona aqui).
    Como vimos, dependendo de x a expressão correspondente muda entre A e B; C e D são falsas em geral. Portanto, sem conhecer x não dá para afirmar uma única alternativa fixa entre A–D.

Resposta

(E)

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