Questão 2. O rotacional de um campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{A}} em um dado ponto P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) é um vetor cuja magnitude é a circulação máxima de \overrightarrow{\mathbf{A}} por unidade de área (quando esta se reduz a zero em torno de P ) e cuja direção \hat{\mathbf{n}} é aquela para a qual essa circulação é máxima. A componente do rotacional em uma direção \hat{\mathbf{n}} qualquer é dada por:
(\boldsymbol{\nabla} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \cdot \hat{\mathbf{n}}=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \mathrm{~d} \overrightarrow{\mathbf{l}}}{\Delta S}
(a) Mostre que, para o sistema de coordenadas retangulares, o rotacional de \overrightarrow{\mathbf{A}} pode ser expresso pelo determinante:
\boldsymbol{\nabla} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{array}\right|
(b) Utilize a definição acima para deduzir o Teorema de Stokes (teorema do rotacional):
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \mathrm{~d} \overrightarrow{\mathbf{l}}=\int_{S}(\nabla \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathbf{S}}

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • O enunciado dá a definição de componente do rotacional na direção \hat{\mathbf{n}}:
(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\hat{\mathbf{n}} =\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint_{C}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}}{\Delta S},
onde C é a fronteira do pequeno elemento de área \Delta S com orientação compatível com \hat{\mathbf{n}} (regra da mão direita).
  • Perguntas:
    (a) Mostrar, no sistema de coordenadas retangulares, que
    \nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\\ A_x & A_y & A_z \end{array}\right|.
    (b) Partindo da definição acima, deduzir o Teorema de Stokes
    \oint_{C}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} =\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.
  • Informações relevantes a usar: expressão para integral de linha \oint_C \overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}, aproximações de Taylor de primeira ordem para campos suaves e a definição dada do componente do rotacional como circulação por unidade de área no limite.

Passo 2

Estratégia para (a): vamos calcular explicitamente a componente do rotacional na direção \hat{\mathbf{k}} (eixo z) usando a definição de circulação por unidade de área aplicada a um pequeno retângulo no plano xy. Esse cálculo dá a fórmula para (\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})_z. Depois, por simetria cíclica, obtemos as componentes x e y e montamos a forma determinantal.
Primeiro lembretes pedagógicos:
  • Para um elemento de curva \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} alinhado com o eixo x, tem-se \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}=\mathrm{d}x\,\hat{\mathbf{i}}. Para eixo y, \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}=\mathrm{d}y\,\hat{\mathbf{j}}.
  • A integral de linha ao longo de uma aresta é a integral do componente tangencial do campo multiplicado pelo diferencial de comprimento: por exemplo, ao longo de um segmento horizontal, \int A_x\,\mathrm{d}x (avaliação adequada dos pontos).
  • Aproximação de Taylor de primeira ordem para uma função suave f(x,y) ao deslocar-se por \Delta x,\Delta y: f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y.

Passo 3

Construção do retângulo e orientação (para \hat{\mathbf{k}}):
  • Considere o ponto central P=(x_0,y_0,z_0). Tome um pequeno retângulo no plano z=z_0 com lados paralelos aos eixos x e y: comprimento \Delta x na direção x e comprimento \Delta y na direção y. A área é \Delta S=\Delta x\,\Delta y.
  • Escolha a orientação do contorno C tal que, visto pelo lado positivo de \hat{\mathbf{k}} (ou seja, olhando ao longo de \hat{\mathbf{k}} em direção negativa), o caminho seja contraclockwise. Pela regra da mão direita, essa escolha corresponde a \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}.
Agora parametrizamos as quatro arestas (começando pela aresta inferior, no sentido anti-horário):
  1. Aresta 1: de (x_0,y_0) para (x_0+\Delta x,y_0). Aqui \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}=\mathrm{d}x\,\hat{\mathbf{i}}.
  2. Aresta 2: de (x_0+\Delta x,y_0) para (x_0+\Delta x,y_0+\Delta y). Aqui \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}=\mathrm{d}y\,\hat{\mathbf{j}}.
  3. Aresta 3: de (x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) para (x_0,y_0+\Delta y). Aqui \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}=-\mathrm{d}x\,\hat{\mathbf{i}}.
  4. Aresta 4: de (x_0,y_0+\Delta y) para (x_0,y_0). Aqui \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}=-\mathrm{d}y\,\hat{\mathbf{j}}.
A integral de linha total é a soma das integrais nessas arestas:
\oint_C\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} =I_1+I_2+I_3+I_4,
onde I_1=\int_{\text{aresta 1}} \overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}, etc.

Passo 4

Avaliação das integrais em primeira ordem (usar Taylor). Para cada aresta, só o componente tangencial contribui:
Aresta 1 (inferior, direção +\hat{\mathbf{i}}):
I_1=\int_{x_0}^{x_0+\Delta x} A_x(x,y_0,z_0)\,\mathrm{d}x.
Aproximando A_x(x,y_0,z_0) por A_x(x_0,y_0,z_0) (valor no ponto de referência) mais variação linear, mas como integraremos sobre \Delta x e depois vamos dividir por \Delta x\Delta y e tomar limite, a aproximação de primeira ordem suficiente é:
I_1 \approx A_x(x_0,y_0,z_0)\,\Delta x
(termos de ordem \Delta x^2 serão desprezíveis no limite).
Aresta 3 (superior, direção -\hat{\mathbf{i}}), o integrando é o componente A_x avaliado em y_0+\Delta y:
I_3=\int_{x_0+\Delta x}^{x_0} A_x(x,y_0+\Delta y,z_0)\,(-\mathrm{d}x) = -\int_{x_0}^{x_0+\Delta x} A_x(x,y_0+\Delta y,z_0)\,\mathrm{d}x.
Aproximando A_x(x,y_0+\Delta y,z_0) por expansão em y ao redor de y_0:
A_x(x,y_0+\Delta y,z_0)\approx A_x(x,y_0,z_0)+\frac{\partial A_x}{\partial y}(x,y_0,z_0)\,\Delta y.
Integrando e mantendo apenas termos até ordem \Delta x\Delta y:
I_3\approx -\big[A_x(x_0,y_0,z_0)\,\Delta x + \frac{\partial A_x}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\,\Delta y\,\Delta x\big].
Aresta 2 (direção +\hat{\mathbf{j}}, em x=x_0+\Delta x):
I_2=\int_{y_0}^{y_0+\Delta y} A_y(x_0+\Delta x,y,z_0)\,\mathrm{d}y \approx A_y(x_0+\Delta x,y_0,z_0)\,\Delta y.
Expandindo A_y em x:
A_y(x_0+\Delta x,y_0,z_0)\approx A_y(x_0,y_0,z_0)+\frac{\partial A_y}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\,\Delta x,
então, mantendo termos até \Delta x\Delta y,
I_2\approx A_y(x_0,y_0,z_0)\,\Delta y + \frac{\partial A_y}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\,\Delta x\,\Delta y.
Aresta 4 (direção -\hat{\mathbf{j}}, em x=x_0):
I_4=\int_{y_0+\Delta y}^{y_0} A_y(x_0,y,z_0)\,(-\mathrm{d}y) =-\int_{y_0}^{y_0+\Delta y} A_y(x_0,y,z_0)\,\mathrm{d}y \approx -A_y(x_0,y_0,z_0)\,\Delta y.

Passo 5

Somando I_1+I_2+I_3+I_4 e cancelando termos que se anulam:
  • Os termos A_x(x_0,y_0,z_0)\,\Delta x de I_1 e -A_x(x_0,y_0,z_0)\,\Delta x em I_3 se cancelam.
  • Os termos A_y(x_0,y_0,z_0)\,\Delta y de I_2 e -A_y(x_0,y_0,z_0)\,\Delta y de I_4 se cancelam.
Ficam apenas os termos de ordem \Delta x\,\Delta y:
\oint_C\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} \approx \left(\frac{\partial A_y}{\partial x}(x_0,y_0,z_0) - \frac{\partial A_x}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\right)\Delta x\,\Delta y.
Dividindo por \Delta S=\Delta x\,\Delta y e tomando o limite \Delta x,\Delta y\to 0, pela definição dada:
(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\hat{\mathbf{k}} =\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint_C\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}}{\Delta S} =\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}.
Portanto a componente z do rotacional é
(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})_z =\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}.

Passo 6

Analogamente, ao aplicar a mesma construção a pequenos retângulos nos planos yz e zx, orientados de acordo com \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{j}}, obtém-se:
(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})_x =\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},
(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})_y =\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}.
Essas três componentes podem ser reunidas na forma conhecida (e compacta) usando a notação determinantal:
\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\\ A_x & A_y & A_z \end{array}\right|,
que é exatamente a expressão pedida no item (a). Aqui cada elemento da linha do meio atua sobre a linha de baixo como operador derivada, e o desenvolvimento do determinante reproduz as fórmulas das componentes mostradas acima.

Passo 7

Agora (b): deduzir o Teorema de Stokes a partir da definição local do rotacional.
Idéia geral (intuição antes do formal): o teorema de Stokes resulta de somar as contribuições de circulação de muitos pequenos elementos de superfície que cobrem S. Cada elemento pequeno satisfaz, pela definição local, que a circulação ao longo da sua borda é igual ao produto do rotacional pelo vetor área desse elemento. Somando sobre todos os elementos internos de uma tesselação, as integrais ao longo de arestas internas aparecem com sinais opostos e se cancelam. Restam apenas as integrais ao longo da fronteira externa C. No limite em que a malha tende a contínua, a soma passa para integral de superfície do rotacional; o cancelamento interno leva ao enunciado do teorema.
Vou transformar essa ideia em passos matemáticos controlados.

Passo 8

Dividir a superfície S (suave, orientada) em muitas pequenas sub-superfícies S_i de área \Delta S_i. Cada S_i tem fronteira C_i orientada consistentemente com a normal \hat{\mathbf{n}} de S (regra da mão direita).
Pela definição local do rotacional aplicada a cada S_i,
\oint_{C_i}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} =(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\Delta S_i + \varepsilon_i,
onde \varepsilon_i é um erro que vai para zero mais rápido do que \Delta S_i quando o tamanho da partição vai a zero (porque a definição é um limite local). Mais precisamente, \varepsilon_i=o(\Delta S_i).
Somando sobre todos os i:
\sum_i \oint_{C_i}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} =\sum_i (\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\Delta S_i + \sum_i \varepsilon_i.

Passo 9

Observação sobre as fronteiras internas: cada aresta interna pertence a exatamente duas sub-superfícies S_i e S_j, e as orientações das curvas C_i e C_j ao longo dessa aresta são opostas (porque as normais \hat{\mathbf{n}} das duas peças coincidem e a regra da mão direita impõe orientações contrárias nos limites adjacentes). Assim, ao somar \oint_{C_i} sobre todas as sub-superfícies, as integrais ao longo de arestas internas cancelam par a par. O único termo que sobra na soma das integrais de contorno é a integral ao longo da fronteira externa única C de S:
\sum_i \oint_{C_i}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} = \oint_{C}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}.
Portanto da soma anterior:
\oint_{C}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} =\sum_i (\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\Delta S_i + \sum_i \varepsilon_i.

Passo 10

Fazer o limite da malha para zero: quando o diâmetro máximo das sub-superfícies tende a zero, a soma de Riemann \sum_i (\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\Delta S_i converge para a integral de superfície
\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.
Além disso, como cada \varepsilon_i=o(\Delta S_i), a soma \sum_i \varepsilon_i tende a zero no limite (mais formalmente: existe uma constante K tal que |\varepsilon_i|\le K(\Delta S_i)^2 para partições suficientemente finas, logo a soma tende a zero).
Assim, no limite,
\oint_{C}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} =\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.
Isso é exatamente o Teorema de Stokes desejado. A orientação das integrais está consistente porque a orientação de C é a fronteira orientada de S determinada pela regra da mão direita aplicada à normal \hat{\mathbf{n}}.

Passo 11

Comentários didáticos finais e verificação de consistência:
  • A dedução da forma para as componentes do rotacional a partir da definição local é um cálculo puramente local (pequeno retângulo). Ele não usa nenhuma propriedade profunda além da continuidade/diferenciabilidade dos componentes de \overrightarrow{\mathbf{A}}.
  • O salto para o Teorema de Stokes usa a linearidade da integral e o cancelamento das arestas internas quando se soma sobre uma tesselação, mais a passagem ao limite (soma de Riemann). Esse é o mesmo tipo de argumento usado na prova do Teorema de Gauss (divergência), mas adaptado à circulação/rotacional.
  • Orientação: sempre atentar ao sinal — a orientação de C deve ser compatível com a normal escolhida (regra da mão direita). Se a orientação for invertida, o sinal da integral de linha muda, como esperado.

Resposta

\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\\ A_x & A_y & A_z \end{array}\right|
\oint_{C}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} =\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}})\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}

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