Questão 3) Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x,y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas e pergunta clara:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}.
  • A tarefa: desenhar (esboçar) o gráfico tridimensional dessa função — isto é, o conjunto de pontos (x,y,z) com z=f(x,y).

Passo 2

Encontrar o domínio da função (pois a raiz exige que o argumento seja não-negativo).
A condição é
25-x^{2}-y^{2}\ge 0,
que equivale a
x^{2}+y^{2}\le 25.
Explicação: isso é o disco fechado de raio 5 no plano xy. Então a função está definida apenas para pontos (x,y) dentro desse disco (incluindo a borda).

Passo 3

Determinar o contradomínio / imagem (os valores possíveis de z=f(x,y)).
Como f é uma raiz quadrada não-negativa, temos z\ge 0. O valor máximo ocorre em (x,y)=(0,0), onde
z_{\max}=f(0,0)=\sqrt{25-0-0}=5.
Logo a imagem é o intervalo
0\le z\le 5.

Passo 4

Relacionar a função com uma superfície conhecida (ajuda muito a visualizar).
Elevar ambos os lados ao quadrado:
z^{2}=25-x^{2}-y^{2}
ou
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.
Explicação: essa é a equação de uma esfera de raio 5 e centro na origem. Como originalmente z=\sqrt{\cdot} (raiz positiva), estamos apenas com a metade superior dessa esfera (onde z\ge0). Portanto geometricamente o gráfico é a semiesfera superior de raio 5 centrada na origem.

Passo 5

Descrever as curvas de nível (úteis para o esboço).
Curvas de nível são definidas por f(x,y)=c com 0\le c\le 5. Então
\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}=c
implica
x^{2}+y^{2}=25-c^{2}.
Isto significa: para cada altura c fixa, a interseção com o plano z=c é um círculo de raio \sqrt{25-c^{2}}. Exemplos fáceis:
  • Para c=0: círculo de raio \sqrt{25}=5 (a base).
  • Para c=3: círculo de raio \sqrt{25-9}=4.
  • Para c=5: círculo de raio \sqrt{25-25}=0 (ponto no topo).
Essas curvas de nível são círculos concêntricos no plano xy com raio decrescente conforme z aumenta.

Passo 6

Analisar seções transversais (perfil) — ajudam bastante no desenho manual.
Fixando y=0 obtemos a seção no plano xz:
z=\sqrt{25-x^{2}},
que é a semicircunferência superior de raio 5 no plano xz. Pontos úteis para desenhar:
x=0\Rightarrow z=5,\quad x=3\Rightarrow z=\sqrt{25-9}=4,\quad x=4\Rightarrow z=3,\quad x=5\Rightarrow z=0.
O mesmo acontece fixando x=0 (seção semicircular no plano yz). Esses perfis semicirculares, girando ao redor do eixo z, formam a semiesfera.

Passo 7

Calcular derivadas parciais (para entender inclinações da superfície) e comportamento na borda.
As derivadas parciais, usando regra da cadeia, são
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}}.
Interpretação didática:
  • No centro (0,0) ambas são 0: superfície é horizontal no topo.
  • Próximo à borda x^{2}+y^{2}\to 25 o denominador tende a 0, logo as derivadas tendem a \pm\infty (se x ou y\neq0), indicando que a superfície fica muito íngreme perto da borda — geometricamente a semiesfera encontra o plano xy verticalmente na borda (tangente vertical).

Passo 8

Parametrização útil (opcional, para quem gosta de coordenadas esféricas).
Uma parametrização da semiesfera superior é
x=5\sin\varphi\cos\theta,\quad y=5\sin\varphi\sin\theta,\quad z=5\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \theta\in[0,2\pi). Aqui \varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta o azimutal. Essa forma mostra diretamente que z\ge0.

Passo 9

Passo a passo prático para esboçar em papel (como eu faria com você do lado):
  1. Desenhe dois eixos no plano: eixo x (horizontal) e eixo y (em perspectiva), e o eixo z saindo para cima (usar perspectiva simples: y inclinado para a direita para sugerir 3D).
  2. No plano xy desenhe um círculo de raio 5 (base da semiesfera). Marque os pontos (\pm5,0,0) e (0,\pm5,0).
  3. Marque o ponto mais alto (0,0,5) sobre o centro do círculo.
  4. Desenhe um perfil semicircular passando pela vista frontal: por exemplo, uma semicircunferência ligando (-5,0,0) a (5,0,0) passando por (0,0,5). Repita uma leve curva para o plano lateral se quiser sugerir volume.
  5. Adicione algumas curvas de nível (círculos concêntricos no topo projetados no plano) para mostrar que é uma “cúpula” — círculos menores mais altos, maiores perto da base.
  6. Sombreie levemente ou trace linhas de contorno para dar volume. Pronto: semiesfera superior de raio 5.

Resposta

\text{O gráfico é a semiesfera superior de raio }5\text{ centrada na origem, ou seja a superfície }x^{2}+y^{2}+z^{2}=25\text{ com }z\ge 0.áéí

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