Questão 3) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas e pergunta clara:
Informações dadas e pergunta clara:
- A função é
. - A tarefa: desenhar (esboçar) o gráfico tridimensional dessa função — isto é, o conjunto de pontos
com .
Passo 2
Encontrar o domínio da função (pois a raiz exige que o argumento seja não-negativo).
A condição é
A condição é
que equivale a
Explicação: isso é o disco fechado de raio
no plano
. Então a função está definida apenas para pontos
dentro desse disco (incluindo a borda).
Passo 3
Determinar o contradomínio / imagem (os valores possíveis de
).
Como é uma raiz quadrada não-negativa, temos
. O valor máximo ocorre em
, onde
Como
Logo a imagem é o intervalo
Passo 4
Relacionar a função com uma superfície conhecida (ajuda muito a visualizar).
Elevar ambos os lados ao quadrado:
Elevar ambos os lados ao quadrado:
ou
Explicação: essa é a equação de uma esfera de raio
e centro na origem. Como originalmente
(raiz positiva), estamos apenas com a metade superior dessa esfera (onde
). Portanto geometricamente o gráfico é a semiesfera superior de raio
centrada na origem.
Passo 5
Descrever as curvas de nível (úteis para o esboço).
Curvas de nível são definidas por com
. Então
Curvas de nível são definidas por
implica
Isto significa: para cada altura
fixa, a interseção com o plano
é um círculo de raio
. Exemplos fáceis:
- Para
: círculo de raio (a base). - Para
: círculo de raio . - Para
: círculo de raio (ponto no topo).
Essas curvas de nível são círculos concêntricos no plano
com raio decrescente conforme
aumenta.
Passo 6
Analisar seções transversais (perfil) — ajudam bastante no desenho manual.
Fixando obtemos a seção no plano
:
Fixando
que é a semicircunferência superior de raio
no plano
. Pontos úteis para desenhar:
O mesmo acontece fixando
(seção semicircular no plano
). Esses perfis semicirculares, girando ao redor do eixo
, formam a semiesfera.
Passo 7
Calcular derivadas parciais (para entender inclinações da superfície) e comportamento na borda.
As derivadas parciais, usando regra da cadeia, são
As derivadas parciais, usando regra da cadeia, são
Interpretação didática:
- No centro
ambas são : superfície é horizontal no topo. - Próximo à borda
o denominador tende a , logo as derivadas tendem a (se ou ), indicando que a superfície fica muito íngreme perto da borda — geometricamente a semiesfera encontra o plano verticalmente na borda (tangente vertical).
Passo 8
Parametrização útil (opcional, para quem gosta de coordenadas esféricas).
Uma parametrização da semiesfera superior é
Uma parametrização da semiesfera superior é
com
e
. Aqui
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
o azimutal. Essa forma mostra diretamente que
.
Passo 9
Passo a passo prático para esboçar em papel (como eu faria com você do lado):
- Desenhe dois eixos no plano: eixo
(horizontal) e eixo (em perspectiva), e o eixo saindo para cima (usar perspectiva simples: inclinado para a direita para sugerir 3D). - No plano
desenhe um círculo de raio (base da semiesfera). Marque os pontos e . - Marque o ponto mais alto
sobre o centro do círculo. - Desenhe um perfil semicircular passando pela vista frontal: por exemplo, uma semicircunferência ligando
a passando por . Repita uma leve curva para o plano lateral se quiser sugerir volume. - Adicione algumas curvas de nível (círculos concêntricos no topo projetados no plano) para mostrar que é uma “cúpula” — círculos menores mais altos, maiores perto da base.
- Sombreie levemente ou trace linhas de contorno para dar volume. Pronto: semiesfera superior de raio
.