(1 pontos) Calcule a integral de linha:
\int_{C} z d x+x d y+y d z,
para a curva C: x=t^{2}, y=t^{3}, z=t^{2} com 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} z\,d x + x\,d y + y\,d z,
onde a curva C é dada pela parametrização
x=t^{2},\qquad y=t^{3},\qquad z=t^{2},\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral é do tipo \displaystyle\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz com P=z,\;Q=x,\;R=y.
  • A curva está parametrizada por t em [0,1] com x(t)=t^{2},\;y(t)=t^{3},\;z(t)=t^{2}.
  • O objetivo final é obter um número (valor da integral).

Passo 2

Regra que vou usar (explicação didática): para uma forma linear \displaystyle P\,dx+Q\,dy+R\,dz e uma parametrização \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr), a integral de linha sobre C é convertida numa integral em t pela fórmula
\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \int_{a}^{b} \bigl(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr)\,dt.
O que cada símbolo significa:
  • P,Q,R são as funções que acompanham dx,dy,dz.
  • x'(t),y'(t),z'(t) são as derivadas das componentes da parametrização em relação a t.
  • a e b são os limites do parâmetro t (aqui a=0,\;b=1).
Vou aplicar essa fórmula com P=z,\;Q=x,\;R=y e com a parametrização dada.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes da parametrização (passo a passo):
x(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=2t,
y(t)=t^{3}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=3t^{2},
z(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad z'(t)=2t.
Estas derivadas representam dx/dt,\;dy/dt,\;dz/dt; em seguida substituiremos na fórmula da integral.

Passo 4

Substituir P,Q,R e as funções parametrizadas na integranda:
  • P(x(t),y(t),z(t)) = z(t) = t^{2}.
  • Q(x(t),y(t),z(t)) = x(t) = t^{2}.
  • R(x(t),y(t),z(t)) = y(t) = t^{3}.
Aplicando a fórmula:
\int_{C} z\,dx+x\,dy+y\,dz = \int_{0}^{1}\bigl(t^{2}\cdot x'(t) + t^{2}\cdot y'(t) + t^{3}\cdot z'(t)\bigr)\,dt.
Agora substituo x'(t)=2t,\;y'(t)=3t^{2},\;z'(t)=2t:
\int_{0}^{1}\bigl(t^{2}\cdot 2t + t^{2}\cdot 3t^{2} + t^{3}\cdot 2t\bigr)\,dt.

Passo 5

Simplificar a integranda executando multiplicações de potências:
t^{2}\cdot 2t = 2t^{3},
t^{2}\cdot 3t^{2} = 3t^{4},
t^{3}\cdot 2t = 2t^{4}.
Somando os termos:
2t^{3} + 3t^{4} + 2t^{4} = 2t^{3} + 5t^{4}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{1}\bigl(2t^{3}+5t^{4}\bigr)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral definida (integração termo a termo):
  • Integral de 2t^{3} é 2\cdot \dfrac{t^{4}}{4} = \dfrac{t^{4}}{2}.
  • Integral de 5t^{4} é 5\cdot \dfrac{t^{5}}{5} = t^{5}.
Somando os antiderivados:
\int_{0}^{1}\bigl(2t^{3}+5t^{4}\bigr)\,dt = \left[\dfrac{t^{4}}{2} + t^{5}\right]_{0}^{1}.
Avaliar em t=1 e t=0:
\left(\dfrac{1^{4}}{2} + 1^{5}\right) - \left(\dfrac{0^{4}}{2} + 0^{5}\right) = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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