(1 pontos) Calcule a integral de linha:
para a curva
com
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Informações relevantes fornecidas:
- A integral é do tipo
com . - A curva está parametrizada por
em com . - O objetivo final é obter um número (valor da integral).
Passo 2
Regra que vou usar (explicação didática): para uma forma linear
e uma parametrização
, a integral de linha sobre
é convertida numa integral em
pela fórmula
O que cada símbolo significa:
-
são as funções que acompanham . -
são as derivadas das componentes da parametrização em relação a . -
e são os limites do parâmetro (aqui ).
Vou aplicar essa fórmula com
e com a parametrização dada.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes da parametrização (passo a passo):
Estas derivadas representam
; em seguida substituiremos na fórmula da integral.
Passo 4
Substituir
e as funções parametrizadas na integranda:
-
. -
. -
.
Aplicando a fórmula:
Agora substituo
:
Passo 5
Simplificar a integranda executando multiplicações de potências:
Somando os termos:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Calcular a integral definida (integração termo a termo):
- Integral de
é . - Integral de
é .
Somando os antiderivados:
Avaliar em
e
: