Questão 3) Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=x+y-4

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função f(x,y)=x+y-4. Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x+y-4.
  • Preciso desenhar (esboçar) o gráfico dessa função no espaço tridimensional.

Passo 2

O que significa “gráfico” aqui: o gráfico de uma função de duas variáveis f(x,y) é o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 tais que
z=f(x,y).
Para esta função, o gráfico é o conjunto de pontos que satisfazem
z = x + y - 4.
Isto é uma superfície em \mathbb{R}^3. Em particular, é um plano (porque a relação entre x,y,z é linear).

Passo 3

Achar pontos-chave para desenhar o plano: interceptos com os eixos coordenados (são três pontos fáceis de marcar).
  • Intercepto com o eixo x (onde y=0 e z=0): resolver 0 = x + 0 - 4
x = 4.
Logo o ponto é (4,0,0).
  • Intercepto com o eixo y (onde x=0 e z=0): resolver 0 = 0 + y - 4
y = 4.
Logo o ponto é (0,4,0).
  • Intercepto com o eixo z (onde x=0 e y=0): então
z = 0 + 0 - 4 = -4.
Logo o ponto é (0,0,-4).
Esses três pontos não estão na mesma reta e determinam unicamente o plano.

Passo 4

Traços (seções) do plano em planos coordenados — ajudam a desenhar:
  • Interseção com o plano z=0 (plano xy): substituir z=0 em z=x+y-4
0 = x + y - 4 \quad\Rightarrow\quad x+y=4.
É uma reta no plano xy. Essa reta passa pelos pontos (4,0,0) e (0,4,0).
  • Interseção com o plano y=0 (plano xz): substituir y=0
z = x - 4,
que é uma reta no plano xz passando por (4,0,0) e por (0,0,-4).
  • Interseção com o plano x=0 (plano yz): substituir x=0
z = y - 4,
reta no plano yz passando por (0,4,0) e por (0,0,-4).
Essas três retas formam um triângulo de referência sobre o qual o plano se apoia visualmente.

Passo 5

Forma implícita e vetor normal: escrevendo a equação como
x + y - z - 4 = 0,
o vetor normal ao plano é
\mathbf{n} = (1,1,-1).
Explicação didática: o vetor normal aponta perpendicularmente ao plano; seus componentes vêm dos coeficientes de x,y,z na forma implícita. Saber o normal ajuda a entender a inclinação do plano.

Passo 6

Vetores diretores do plano e parametrização (úteis para visualizar a direção do plano):
  • Dois vetores que pertencem ao plano e são ortogonais ao normal podem ser, por exemplo,
\mathbf{v}_1 = (1,0,1),\qquad \mathbf{v}_2 = (0,1,1),
porque \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1 = 1+0-1 = 0 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2 = 0+1-1=0.
Uma parametrização do plano com base no ponto (4,0,0) é
\mathbf{r}(s,t) = (4,0,0) + s(1,0,1) + t(0,1,1),
onde s,t\in\mathbb{R}. Isso mostra que movendo 1 unidade em x (com y fixo) a altura z aumenta 1 — e o mesmo se aumentar y — pois z=x+y-4.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (na folha, sem softwares):
  1. Desenhe os três eixos x,y,z tridimensionais (o eixo z vertical; x e y no plano horizontal formando ângulo conveniente).
  2. Marque os pontos (4,0,0) e (0,4,0) no plano horizontal ( z=0) e o ponto (0,0,-4) no eixo vertical abaixo da origem.
  3. Ligue os três pontos por retas — elas são as interseções do plano com os planos coordenados (formam um triângulo).
  4. Estenda esse triângulo em ambas as direções para representar o plano infinito — desenhe uma folha inclinada passando por essas retas.
  5. Se quiser, acrescente algumas linhas de nível (contornos): para z=c temos x+y=c+4, retas paralelas com inclinação -1 no plano xy. Marcar algumas dessas retas ajuda a perceber a inclinação do plano.
Dicas intuitivas: aumentar x em 1 aumenta z em 1; aumentar y em 1 também aumenta z em 1. Assim o plano sobe na direção positiva dos eixos x e y e atinge z=-4 na origem (0,0).

Passo 8

Resumo do que desenhar: um plano inclinado cujo traço no plano xy é a reta x+y=4, que corta os eixos x e y em 4, e corta o eixo z em -4. Use os três pontos (4,0,0), (0,4,0) e (0,0,-4) como referência para o esboço.

Resposta

O gráfico é o plano z=x+y-4, que passa pelos pontos (4,0,0), (0,4,0) e (0,0,-4) e tem vetor normal (1,1,-1).

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