Questão 3) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
. Informações fornecidas:
- A função é
. - Preciso desenhar (esboçar) o gráfico dessa função no espaço tridimensional.
Passo 2
O que significa “gráfico” aqui: o gráfico de uma função de duas variáveis
é o conjunto de pontos
em
tais que
Para esta função, o gráfico é o conjunto de pontos que satisfazem
Isto é uma superfície em
. Em particular, é um plano (porque a relação entre
é linear).
Passo 3
Achar pontos-chave para desenhar o plano: interceptos com os eixos coordenados (são três pontos fáceis de marcar).
- Intercepto com o eixo
(onde e ): resolver dá
Logo o ponto é
.
- Intercepto com o eixo
(onde e ): resolver dá
Logo o ponto é
.
- Intercepto com o eixo
(onde e ): então
Logo o ponto é
.
Esses três pontos não estão na mesma reta e determinam unicamente o plano.
Passo 4
Traços (seções) do plano em planos coordenados — ajudam a desenhar:
- Interseção com o plano
(plano ): substituir em dá
É uma reta no plano
. Essa reta passa pelos pontos
e
.
- Interseção com o plano
(plano ): substituir dá
que é uma reta no plano
passando por
e por
.
- Interseção com o plano
(plano ): substituir dá
reta no plano
passando por
e por
.
Essas três retas formam um triângulo de referência sobre o qual o plano se apoia visualmente.
Passo 5
Forma implícita e vetor normal: escrevendo a equação como
o vetor normal ao plano é
Explicação didática: o vetor normal aponta perpendicularmente ao plano; seus componentes vêm dos coeficientes de
na forma implícita. Saber o normal ajuda a entender a inclinação do plano.
Passo 6
Vetores diretores do plano e parametrização (úteis para visualizar a direção do plano):
- Dois vetores que pertencem ao plano e são ortogonais ao normal podem ser, por exemplo,
porque
e
.
Uma parametrização do plano com base no ponto é
Uma parametrização do plano com base no ponto
onde
. Isso mostra que movendo
unidade em
(com
fixo) a altura
aumenta
— e o mesmo se aumentar
— pois
.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (na folha, sem softwares):
- Desenhe os três eixos
tridimensionais (o eixo vertical; e no plano horizontal formando ângulo conveniente). - Marque os pontos
e no plano horizontal ( ) e o ponto no eixo vertical abaixo da origem. - Ligue os três pontos por retas — elas são as interseções do plano com os planos coordenados (formam um triângulo).
- Estenda esse triângulo em ambas as direções para representar o plano infinito — desenhe uma folha inclinada passando por essas retas.
- Se quiser, acrescente algumas linhas de nível (contornos): para
temos , retas paralelas com inclinação no plano . Marcar algumas dessas retas ajuda a perceber a inclinação do plano.
Dicas intuitivas: aumentar
em
aumenta
em
; aumentar
em
também aumenta
em
. Assim o plano sobe na direção positiva dos eixos
e
e atinge
na origem
.
Passo 8
Resumo do que desenhar: um plano inclinado cujo traço no plano
é a reta
, que corta os eixos
e
em
, e corta o eixo
em
. Use os três pontos
,
e
como referência para o esboço.
Resposta
O gráfico é o plano
, que passa pelos pontos
,
e
e tem vetor normal
.