3^{\text {à }}à Questão ( 20 pontos) A função g(x) é contínua em x=2 ? E em x=-2 ? Justifique a sua resposta.
g(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4} & \text { se } & x \neq 2, x \neq-2 \\\\ 1 / 2 & \text { se } & x=2, x=-2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pergunta: a função [g(x)) é contínua em x=2? E em x=-2? Peço para justificar.
Informações dadas:
  • A função é definida por partes:
g(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}-4}, & \text{se } x\neq 2,\\ x\neq -2,\\[6pt] \dfrac{1}{2}, & \text{se } x=2,\\ x=-2. \end{cases}
  • Para x\neq \pm 2\] a expressão racional vale \(\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}-4}.
  • Nos pontos x=2 e x=-2 a função foi explicitamente atribuída o valor \dfrac{1}{2}.]

Passo 2

Lembrete (definição usada): para que uma função f seja contínua em um ponto a é preciso cumprir três condições:
  1. f(a) está definida (a função tem valor em a);
  2. \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) existe (os limites laterais existem e são iguais);
  3. \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Vou verificar essas condições em a=2 e em a=-2.

Passo 3

Primeiro simplifico a expressão quando x\neq \pm 2. Fatoremos numerador e denominador:
x^{2}-2x = x(x-2), \qquad x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Logo, para x\neq 2,\\ x\neq -2,
\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4}=\frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x+2}.
Observação importante: essa simplificação vale apenas para x\neq 2,\\ x\neq -2; cancelar o fator (x-2) elimina uma indeterminação algébrica mas não redefine o valor nos pontos originalmente excluídos.

Passo 4

Analisando x=2. Quero \displaystyle\lim_{x\to 2} g(x). Como limite considera x próximos de 2 mas diferentes de 2, posso usar a forma simplificada \dfrac{x}{x+2}. Então
\lim_{x\to 2} g(x)=\lim_{x\to 2}\frac{x}{x+2}=\frac{2}{2+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Os limites laterais coincidem (não há problema de sinal do denominador perto de 2), o limite existe e é finito.

Passo 5

Verifico o valor da função em x=2: pelo enunciado g(2)=\dfrac{1}{2}. Comparando com o limite:
\lim_{x\to 2} g(x)=\frac{1}{2}=g(2).
Assim as três condições de continuidade em x=2 são satisfeitas: a função está definida em 2, o limite existe e é igual ao valor. Conclusão: g é contínua em x=2. (Este é um caso clássico de descontinuidade “removível” que foi removida ao atribuir o valor \tfrac{1}{2} em x=2.)

Passo 6

Agora analisando x=-2. Novamente uso a forma simplificada \dfrac{x}{x+2} para x próximos de -2 (mas distintos de -2). Vou calcular os limites laterais.
Para x\to -2^{-} (pela esquerda): escreva x=-2-h com h>0 pequeno. Então x\approx -2 (negativo) e x+2\approx -h (negativo pequeno), logo
\frac{x}{x+2}\approx\frac{-2}{-h}=+\frac{2}{h}\to +\infty \quad\text{quando }h\to 0^+.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to -2^-}\frac{x}{x+2}=+\infty.
Para x\to -2^{+} (pela direita): escreva x=-2+h com h>0 pequeno. Então x\approx -2 (negativo) e x+2\approx +h (positivo pequeno), logo
\frac{x}{x+2}\approx\frac{-2}{h}=-\frac{2}{h}\to -\infty \quad\text{quando }h\to 0^+.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to -2^+}\frac{x}{x+2}=-\infty.
Os dois limites laterais são diferentes (um vai para +\infty e o outro para -\infty), então o limite \displaystyle\lim_{x\to -2} g(x) não existe (nem como número finito nem como infinito único).

Passo 7

Como o limite em x=-2 não existe, a condição 2 da definição de continuidade falha. Mesmo que g(-2)=\tfrac{1}{2} esteja definido, não há limite igual a esse valor. Conclusão: g não é contínua em x=-2. Este tipo de descontinuidade é uma descontinuidade essencial do tipo assimptótico (ou “infinita”), já que a função tende a sinais opostos ao se aproximar por lados diferentes.

Resposta

Em x=2: Sim, g é contínua em 2.
Em x=-2: Não, g não é contínua em -2.

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