Observação importante: essa simplificação vale apenas para x\neq 2,\\ x\neq -2; cancelar o fator (x-2) elimina uma indeterminação algébrica mas não redefine o valor nos pontos originalmente excluídos.
Passo 4
Analisando x=2. Quero \displaystyle\lim_{x\to 2} g(x). Como limite considera x próximos de 2 mas diferentes de 2, posso usar a forma simplificada \dfrac{x}{x+2}. Então
Os limites laterais coincidem (não há problema de sinal do denominador perto de 2), o limite existe e é finito.
Passo 5
Verifico o valor da função em x=2: pelo enunciado g(2)=\dfrac{1}{2}. Comparando com o limite:
\lim_{x\to 2} g(x)=\frac{1}{2}=g(2).
Assim as três condições de continuidade em x=2 são satisfeitas: a função está definida em 2, o limite existe e é igual ao valor. Conclusão: g é contínua em x=2. (Este é um caso clássico de descontinuidade “removível” que foi removida ao atribuir o valor \tfrac{1}{2} em x=2.)
Passo 6
Agora analisando x=-2. Novamente uso a forma simplificada \dfrac{x}{x+2} para x próximos de -2 (mas distintos de -2). Vou calcular os limites laterais.
Para x\to -2^{-} (pela esquerda): escreva x=-2-h com h>0 pequeno. Então x\approx -2 (negativo) e x+2\approx -h (negativo pequeno), logo
Os dois limites laterais são diferentes (um vai para +\infty e o outro para -\infty), então o limite \displaystyle\lim_{x\to -2} g(x) não existe (nem como número finito nem como infinito único).
Passo 7
Como o limite em x=-2 não existe, a condição 2 da definição de continuidade falha. Mesmo que g(-2)=\tfrac{1}{2} esteja definido, não há limite igual a esse valor. Conclusão: g não é contínua em x=-2. Este tipo de descontinuidade é uma descontinuidade essencial do tipo assimptótico (ou “infinita”), já que a função tende a sinais opostos ao se aproximar por lados diferentes.