Questão 3
(
) Esboce o gráfico da função
Para tanto, preencha a tabela abaixo:
Domínio da
Intervalos onde
é crescente
Intervalos onde
é decrescente
Intervalos onde a concavidade de
é para cima
Intervalos onde a concavidade de
é para baixo
Pontos de mínimo local (coord. x e y)
Pontos de máximo local (coord. x e y)
Pontos de inflexão
Assíntotas verticais
Assíntotas horizontais
Resolução:
(
Domínio da
|
|
Intervalos onde
|
|
Intervalos onde
|
|
Intervalos onde a concavidade de
|
|
Intervalos onde a concavidade de
|
|
Pontos de mínimo local (coord. x e y) | |
Pontos de máximo local (coord. x e y) | |
Pontos de inflexão | |
Assíntotas verticais | |
Assíntotas horizontais |
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a função
e determinar
– o domínio;
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– pontos de mínimo e máximo locais;
– pontos de inflexão;
– assíntotas verticais e horizontais;
– e, por fim, esboçar o gráfico.
Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda e limites.
– o domínio;
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– pontos de mínimo e máximo locais;
– pontos de inflexão;
– assíntotas verticais e horizontais;
– e, por fim, esboçar o gráfico.
Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda e limites.
Passo 2
Para achar o domínio de
basta exigir que o radicando de
seja não-negativo. Logo
Passo 3
Calculamos a derivada primeira por produto e regra da potência:
Zerando o numerador
dá
. Como
e
em
, temos
– para
(crescente);
– para
(decrescente).
–
–
Passo 4
A derivada segunda, também por regra do produto, fica
O numerador anula-se em
, solução positiva
Analisando o sinal temos
– em
(concavidade para baixo);
– em
(concavidade para cima).
–
–
Passo 5
O único ponto crítico interior é
. Como a função cresce antes e decresce depois, há um máximo local em
Não há mínimo interior. No extremo
temos
, que é o valor mínimo global (e local como ponto de fronteira).
Passo 6
O ponto de inflexão ocorre quando
, ou seja em
com ordenada
Passo 7
Assíntotas:
– Não há assíntotas verticais (domínio fechado à esquerda e sem buracos).
– Como , há assíntota horizontal
.
– Não há assíntotas verticais (domínio fechado à esquerda e sem buracos).
– Como
Resposta
Domínio da
:
Intervalos onde é crescente:
Intervalos onde é decrescente:
Intervalos onde a concavidade de é para cima:
Intervalos onde a concavidade de é para baixo:
Pontos de mínimo local (coord. e
):
Pontos de máximo local (coord. e
):
Pontos de inflexão:
Assíntotas verticais: nenhuma
Assíntotas horizontais:
Intervalos onde
Intervalos onde
Intervalos onde a concavidade de
Intervalos onde a concavidade de
Pontos de mínimo local (coord.
Pontos de máximo local (coord.
Pontos de inflexão:
Assíntotas verticais: nenhuma
Assíntotas horizontais: