Questão 3
( ) Esboce o gráfico da função
Para tanto, preencha a tabela abaixo:
Domínio da
Intervalos onde é crescente
Intervalos onde é decrescente
Intervalos onde a concavidade de é para cima
Intervalos onde a concavidade de é para baixo
Pontos de mínimo local (coord. x e y)
Pontos de máximo local (coord. x e y)
Pontos de inflexão
Assíntotas verticais
Assíntotas horizontais
Resolução:

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a função
f(x)=raizx,e^-x
e determinar
– o domínio;
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– pontos de mínimo e máximo locais;
– pontos de inflexão;
– assíntotas verticais e horizontais;
– e, por fim, esboçar o gráfico.
Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda e limites.

Passo 2

Para achar o domínio de f basta exigir que o radicando de raizx seja não-negativo. Logo
Domínio=xmid x>=0=[0,infty) í

Passo 3

Calculamos a derivada primeira por produto e regra da potência:
f'(x) =ddxl(x^1/2e^-xr) =e^-x1-2x2raizx
Zerando o numerador 1-2x=0 x=tfrac12. Como e^-x>0 e raizx>0 em x>0, temos
f'(x)>0 para 0<x<tfrac12 (crescente);
f'(x)<0 para x>tfrac12 (decrescente).

Passo 4

A derivada segunda, também por regra do produto, fica
f''(x) =e^-x,4x^2-4x-14,x^3/2
O numerador anula-se em 4x^2-4x-1=0, solução positiva
x=1+raiz22
Analisando o sinal temos
f''(x)<0 em 0<x<tfrac1+raiz22 (concavidade para baixo);
f''(x)>0 em x>tfrac1+raiz22 (concavidade para cima).

Passo 5

O único ponto crítico interior é x=tfrac12. Como a função cresce antes e decresce depois, há um máximo local em
l(tfrac12,;f(tfrac12)r) =l(tfrac12,;tfrac1raiz2e^-1/2r)
Não há mínimo interior. No extremo x=0 temos f(0)=0, que é o valor mínimo global (e local como ponto de fronteira).

Passo 6

O ponto de inflexão ocorre quando f''(x)=0, ou seja em
x=1+raiz22,
com ordenada
f!l(tfrac1+raiz22r) =raiztfrac1+raiz22, e^-tfrac1+raiz22

Passo 7

Assíntotas:
– Não há assíntotas verticais (domínio fechado à esquerda e sem buracos).
– Como limxtoinftyf(x)=0, há assíntota horizontal y=0.

Resposta

Domínio da f: [0,infty)
Intervalos onde f é crescente: l(0,tfrac12r)
Intervalos onde f é decrescente: l(tfrac12,inftyr)
Intervalos onde a concavidade de f é para cima: l(tfrac1+raiz22,inftyr)
Intervalos onde a concavidade de f é para baixo: l(0,tfrac1+raiz22r)
Pontos de mínimo local (coord. x e y): (0,0)
Pontos de máximo local (coord. x e y): l(tfrac12,tfrac1raiz2e^-1/2r)
Pontos de inflexão: l(tfrac1+raiz22,,raiztfrac1+raiz22,e^-tfrac1+raiz22r)
Assíntotas verticais: nenhuma
Assíntotas horizontais: y=0

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