Se f: U subset R^n R e phi: R R são funções diferenciáveis, verifique que
De<a(phi circ f)=(ddotphi circ f)|nabla f|^2+(dotphi circ f) De<a f

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções diferenciáveis
f:UsubsetR^ntoR e phi:RtoR,
e pede para verificar a fórmula do Laplaciano da composição h=phicirc f, ou seja,
De<a h =De<a(phicirc f) ;=;(ddotphicirc f),|nabla f|^2;+ ;(dotphicirc f),De<a f
Para isso vamos usar a definição de gradiente, Laplaciano e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos h(x)=phil(f(x)r).
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, para cada i=1,dots,n,
partial hpartial xi(x) =dotphil(f(x)r),partial fpartial xi(x)
Aqui usamos a notação dotphi para phi'.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada em relação a xi, aplicando produto e cadeia:
partial^2 hpartial xi^2 =partialpartial xi!l[dotphi(f),partiali fr] =ddotphi(f),partiali f;partiali f ;+;dotphi(f),partiali^2 f,
isto é,
partial^2 hpartial xi^2 =ddotphil(f(x)r),l(partiali f(x)r)^2 ;+;dotphil(f(x)r),partiali^2 f(x)

Passo 4

O Laplaciano é a soma das segundas derivadas em cada direção:
De<a h =sumi=1^npartial^2 hpartial xi^2 =sumi=1^nl[ddotphi(f),(partiali f)^2 +dotphi(f),partiali^2 fr]
Agrupando termos, obtemos
De<a h =ddotphi(f)sumi=1^n(partiali f)^2 ;+;dotphi(f)sumi=1^npartiali^2 f =l(ddotphicirc fr),|nabla f|^2 ;+;l(dotphicirc fr),De<a f

Resposta

De<a(phi circ f) =(ddotphi circ f),|nabla f|^2 +(dotphi circ f),De<a f

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