Se
e
são funções diferenciáveis, verifique que
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções diferenciáveis
e
,
e pede para verificar a fórmula do Laplaciano da composição , ou seja,
e pede para verificar a fórmula do Laplaciano da composição
Para isso vamos usar a definição de gradiente, Laplaciano e a regra da cadeia.
Passo 2
Definimos
.
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, para cada ,
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, para cada
Aqui usamos a notação
para
.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada em relação a
, aplicando produto e cadeia:
isto é,
Passo 4
O Laplaciano é a soma das segundas derivadas em cada direção:
Agrupando termos, obtemos