Questão 6. Esboce o gráfico das seguintes funções, seguindo os seguintes passos: (1) domínio da função, (2) interseção com os eixos, (3) regiões de crescimento/decrescimento e pontos críticos, (4) pontos de máximo e/ou mínimo locais, (5) regiões de concavidade, (6) pontos de inflexão e (7) limites/retas assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
seguindo os itens: domínio, interseções com eixos, crescimento/decrescimento e pontos críticos, máximos/minimos locais, concavidade, pontos de inflexão e limites/retas assíntotas. O conteúdo aqui é cálculo diferencial: derivada para monotonia e extrema, segunda derivada para concavidade e inflexão, e comportamentos nos infinitos para assíntotas.
Passo 2
Domínio: sendo um polinômio,
Interseção com eixo
:
logo ponto
.
Interseção com eixo : resolvemos
. Há uma única raiz real aproximada por método numérico:
Interseção com eixo
portanto intercepto em
.
Passo 3
Calculamos a derivada para achar crescimento/decrescimento:
Os pontos críticos vêm de
, ou seja
e
.
Para sinal de :
– Se , digamos
, então
⇒ crescente em
.
– Se , digamos
, então
⇒ decrescente em
.
– Se , digamos
, então
⇒ crescente em
.
Para sinal de
– Se
– Se
– Se
Passo 4
Com base nos sinais de
:
– Em ,
muda de positivo para negativo ⇒ ponto de máximo local.
– Em
máximo em
.
– Em ,
muda de negativo para positivo ⇒ ponto de mínimo local.
– Em
mínimo em
.
Passo 5
Calculamos a segunda derivada para concavidade:
Sinal de
:
– se
, isto é
⇒ concavidade para baixo em
.
– se
⇒ concavidade para cima em
.
–
–
Passo 6
Ponto de inflexão é onde
, ou seja
.
O valor da função é
O valor da função é
logo inflexão em
.
Passo 7
Limites e assíntotas:
Não há assíntotas verticais nem horizontais (é um polinômio de grau 3).
Resposta
Domínio:
Interseções: com em
; com
em
Crescente em e
; decrescente em
Máximo local em ; mínimo local em
Concavidade para baixo em ; para cima em
Ponto de inflexão em ,
; sem assíntotas.
Interseções: com
Crescente em
Máximo local em
Concavidade para baixo em
Ponto de inflexão em