Questão 6. Esboce o gráfico das seguintes funções, seguindo os seguintes passos: (1) domínio da função, (2) interseção com os eixos, (3) regiões de crescimento/decrescimento e pontos críticos, (4) pontos de máximo e/ou mínimo locais, (5) regiões de concavidade, (6) pontos de inflexão e (7) limites/retas assíntotas.
f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-6

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-6
seguindo os itens: domínio, interseções com eixos, crescimento/decrescimento e pontos críticos, máximos/minimos locais, concavidade, pontos de inflexão e limites/retas assíntotas. O conteúdo aqui é cálculo diferencial: derivada para monotonia e extrema, segunda derivada para concavidade e inflexão, e comportamentos nos infinitos para assíntotas.

Passo 2

Domínio: sendo um polinômio,
\text{dom }f=\mathbb{R}.
Interseção com eixo y:
f(0)=-6,
logo ponto (0,-6).
Interseção com eixo x: resolvemos 2x^{3}-9x^{2}+12x-6=0. Há uma única raiz real aproximada por método numérico:
x\approx2{,}73,
portanto intercepto em \bigl(2{,}73,0\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada para achar crescimento/decrescimento:
f'(x)=6x^{2}-18x+12=6(x^{2}-3x+2)=6(x-1)(x-2).
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja x=1 e x=2.
Para sinal de f':
– Se x<1, digamos x=0, então f'(0)=+12>0 ⇒ crescente em (-\infty,1).
– Se 1<x<2, digamos x=1{,}5, então f'(1{,}5)<0 ⇒ decrescente em (1,2).
– Se x>2, digamos x=3, então f'(3)=+12>0 ⇒ crescente em (2,\infty).

Passo 4

Com base nos sinais de f':
– Em x=1, f' muda de positivo para negativo ⇒ ponto de máximo local.
f(1)=2-9+12-6=-1,
máximo em (1,-1).
– Em x=2, f' muda de negativo para positivo ⇒ ponto de mínimo local.
f(2)=16-36+24-6=-2,
mínimo em (2,-2).

Passo 5

Calculamos a segunda derivada para concavidade:
f''(x)=12x-18.
Sinal de f'':
f''(x)<0 se 12x-18<0, isto é x<1{,}5 ⇒ concavidade para baixo em (-\infty,1{,}5).
f''(x)>0 se x>1{,}5 ⇒ concavidade para cima em (1{,}5,\infty).

Passo 6

Ponto de inflexão é onde f''(x)=0, ou seja x=1{,}5.
O valor da função é
f(1{,}5)=2(1{,}5)^{3}-9(1{,}5)^{2}+12(1{,}5)-6=-1{,}5,
logo inflexão em \bigl(1{,}5,-1{,}5\bigr).

Passo 7

Limites e assíntotas:
\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Não há assíntotas verticais nem horizontais (é um polinômio de grau 3).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Interseções: com y em (0,-6); com x em \bigl(2{,}73,0\bigr)
Crescente em (-\infty,1) e (2,\infty); decrescente em (1,2)
Máximo local em (1,-1); mínimo local em (2,-2)
Concavidade para baixo em (-\infty,1{,}5); para cima em (1{,}5,\infty)
Ponto de inflexão em \bigl(1{,}5,-1{,}5\bigr) \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty, \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty; sem assíntotas.

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