Questão 6. Esboce o gráfico das seguintes funções, seguindo os seguintes passos: (1) domínio da função, (2) interseção com os eixos, (3) regiões de crescimento/decrescimento e pontos críticos, (4) pontos de máximo e/ou mínimo locais, (5) regiões de concavidade, (6) pontos de inflexão e (7) limites/retas assíntotas.
f(x)=\frac{x^{2}-2 x+2}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
f(x)=\frac{x^{2}-2x+2}{x-1},
seguindo etapas de estudo de funções: domínio, interceptos, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas.

Passo 2

Vamos achar o domínio de f. A única restrição vem do denominador x-1\neq0. Logo
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 3

Interceptos com os eixos:
  1. Interseção com o eixo x: resolvemos x^{2}-2x+2=0. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot2=4-8=-4<0,
logo não há raízes reais e f não corta o eixo x.
2. Interseção com o eixo y: calculamos f(0):
f(0)=\frac{0-0+2}{0-1}=-2,
então o ponto é (0,-2).

Passo 4

Monotonicidade e pontos críticos: escrevemos f como soma de termos mais simples. Fazendo divisão de polinômios,
\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1},
então
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x-1+\frac{1}{x-1}\Bigr) =1-\frac{1}{(x-1)^{2}}.
Anulando f'(x)=0
1-\frac{1}{(x-1)^{2}}=0 \;\Longrightarrow\; (x-1)^{2}=1 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=2.
Para saber a variação de sinal de f', observe:
  • Se x<0, então (x-1)^{2}>1 e f'(x)>0 (função crescente).
  • Se 0<x<1, então (x-1)^{2}<1 e f'(x)<0 (decrescente).
  • Se 1<x<2, idem (x-1)^{2}<1 e f'(x)<0.
  • Se x>2, então (x-1)^{2}>1 e f'(x)>0.

Passo 5

Extremos locais:
  • Em x=0, f vai de crescente para decrescente, logo é máximo local em
(0,f(0))=(0,-2).
  • Em x=2, f vai de decrescente para crescente, logo é mínimo local em
(2,f(2))=(2,2).

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão: derivando de novo,
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(1-\frac{1}{(x-1)^{2}}\Bigr) =\frac{2}{(x-1)^{3}}.
Não há zeros de f''. O sinal muda em x=1, mas x=1 não está no domínio, logo não há ponto de inflexão real. A concavidade é
\begin{cases} f''(x)<0,&x<1\quad(\text{côncavo para baixo}),\\\ f''(x)>0,&x>1\quad(\text{côncavo para cima}). \end{cases}ôô

Passo 7

Limites e retas assíntotas:
  1. Assíntota vertical em x=1. De fato,
\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.
  1. Assíntota oblíqua: do quociente x-1, temos
\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-(x-1)\bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x-1}=0,
logo a reta é y=x-1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{1\}.
Interceptos: nenhum em x, e em y o ponto (0,-2).
Cresce em (-\infty,0) e (2,\infty); decresce em (0,1) e (1,2).
Máximo local em (0,-2); mínimo local em (2,2).
Concavidade para baixo em (-\infty,1), para cima em (1,\infty).
Sem pontos de inflexão.
Assíntotas: vertical x=1 e oblíqua y=x-1.

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