Questão 6. Esboce o gráfico das seguintes funções, seguindo os seguintes passos: (1) domínio da função, (2) interseção com os eixos, (3) regiões de crescimento/decrescimento e pontos críticos, (4) pontos de máximo e/ou mínimo locais, (5) regiões de concavidade, (6) pontos de inflexão e (7) limites/retas assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
seguindo etapas de estudo de funções: domínio, interceptos, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas.
Passo 2
Vamos achar o domínio de
. A única restrição vem do denominador
. Logo
Passo 3
Interceptos com os eixos:
- Interseção com o eixo
: resolvemos . O discriminante é
logo não há raízes reais e
não corta o eixo
.
2. Interseção com o eixo : calculamos
:
2. Interseção com o eixo
então o ponto é
.
Passo 4
Monotonicidade e pontos críticos: escrevemos
como soma de termos mais simples. Fazendo divisão de polinômios,
então
Anulando
dá
Para saber a variação de sinal de
, observe:
- Se
, então e (função crescente). - Se
, então e (decrescente). - Se
, idem e . - Se
, então e .
Passo 5
Extremos locais:
- Em
, vai de crescente para decrescente, logo é máximo local em
- Em
, vai de decrescente para crescente, logo é mínimo local em
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão: derivando de novo,
Não há zeros de
. O sinal muda em
, mas
não está no domínio, logo não há ponto de inflexão real. A concavidade é
Passo 7
Limites e retas assíntotas:
- Assíntota vertical em
. De fato,
- Assíntota oblíqua: do quociente
, temos
logo a reta é
.
Resposta
Domínio:
.
Interceptos: nenhum em , e em
o ponto
.
Cresce em e
; decresce em
e
.
Máximo local em ; mínimo local em
.
Concavidade para baixo em , para cima em
.
Sem pontos de inflexão.
Assíntotas: vertical e oblíqua
.
Interceptos: nenhum em
Cresce em
Máximo local em
Concavidade para baixo em
Sem pontos de inflexão.
Assíntotas: vertical