Questão 6. Esboce o gráfico das seguintes funções, seguindo os seguintes passos: (1) domínio da função, (2) interseção com os eixos, (3) regiões de crescimento/decrescimento e pontos críticos, (4) pontos de máximo e/ou mínimo locais, (5) regiões de concavidade, (6) pontos de inflexão e (7) limites/retas assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
seguindo 7 itens: domínio, interseções com eixos, monotonicidade e pontos críticos, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Para isso vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem, análise de sinal e limites.
Passo 2
Domínio: como
para todo
e a raiz cúbica está sempre definida, o domínio é
Passo 3
Interseções com os eixos:
– Eixo :
implica
, logo
. Também
pois
. Então há interceptos em
e
.
– Eixo : em
– Eixo
– Eixo
Passo 4
Monotonicidade e pontos críticos: calculemos
Colocando em fator comum:
Analisando o sinal:
– Para , numerador
; o denominador
se
. Assim para
,
.
– Para , numerador
, denominador
, logo
.
– Para , numerador
, denominador
, logo
.
– Para
– Para
– Para
Pontos críticos:
em
.
indefinida em
(cúspide).
Passo 5
Extremos locais:
– Em , a função muda de crescente para decrescente ⇒ máximo local.
– Em
– Em
, apesar de não ser derivável,
vai decrescer até 3 e aumenta depois ⇒ mínimo local em
.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão:
Como
para
, o sinal de
é o de
.
– em
: concavidade para baixo.
– em
: concavidade para cima.
Ponto de inflexão em :
–
–
Ponto de inflexão em
isto é
.
Passo 7
Limites e assíntotas:
;
Não há retas assintóticas lineares nem verticais além do comportamento em , onde o gráfico tem cúspide mas
.
Não há retas assintóticas lineares nem verticais além do comportamento em
Resposta
O gráfico de
possui:
– Domínio .
– Interceptos em ,
e no eixo
em
.
– Cresce em , decresce em
, cresce em
.
– Máximo local em , mínimo local em
.
– Concavidade para baixo até (exceto cúspide em
), para cima para
.
– Ponto de inflexão em .
– Sem assíntotas, .
– Domínio
– Interceptos em
– Cresce em
– Máximo local em
– Concavidade para baixo até
– Ponto de inflexão em
– Sem assíntotas,