Questão 6. Esboce o gráfico das seguintes funções, seguindo os seguintes passos: (1) domínio da função, (2) interseção com os eixos, (3) regiões de crescimento/decrescimento e pontos críticos, (4) pontos de máximo e/ou mínimo locais, (5) regiões de concavidade, (6) pontos de inflexão e (7) limites/retas assíntotas.
f(x)=(x+2) \sqrt[3]{(x-3)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x) = (x+2)\,\sqrt[3]{(x-3)^{2}} = (x+2)\,(x-3)^{2/3}
seguindo 7 itens: domínio, interseções com eixos, monotonicidade e pontos críticos, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Para isso vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem, análise de sinal e limites.

Passo 2

Domínio: como (x-3)^{2}\ge0 para todo x e a raiz cúbica está sempre definida, o domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Interseções com os eixos:
– Eixo x: f(x)=0 implica x+2=0, logo x=-2. Também f(3)=0 pois \sqrt[3]{0}=0. Então há interceptos em (-2,0) e (3,0).
– Eixo y: em x=0
f(0)=2\;\sqrt[3]{(-3)^{2}}=2\,\sqrt[3]{9}.

Passo 4

Monotonicidade e pontos críticos: calculemos
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[(x+2)(x-3)^{2/3}\bigr] = (x-3)^{2/3} + (x+2)\,\frac{2}{3}(x-3)^{-1/3}.
Colocando em fator comum:
f'(x)=\frac{5}{3}\,\frac{x-1}{(x-3)^{1/3}}.
Analisando o sinal:
– Para x<1, numerador <0; o denominador (x-3)^{1/3}<0 se x<3. Assim para x<1, f'>0.
– Para 1<x<3, numerador >0, denominador <0, logo f'<0.
– Para x>3, numerador >0, denominador >0, logo f'>0.
Pontos críticos: \;f'(x)=0 em x=1. \;f' indefinida em x=3 (cúspide).

Passo 5

Extremos locais:
– Em x=1, a função muda de crescente para decrescente ⇒ máximo local.
f(1)=3\cdot(-2)^{2/3}=3\,\sqrt[3]{4}.
– Em x=3, apesar de não ser derivável, f vai decrescer até 3 e aumenta depois ⇒ mínimo local em (3,0).

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão:
f''(x)=\frac{10}{9}\,(x-4)\,(x-3)^{-4/3}.
Como (x-3)^{-4/3}>0 para x\neq3, o sinal de f'' é o de x-4.
f''<0 em (-\infty,4)\setminus\{3\}: concavidade para baixo.
f''>0 em (4,\infty): concavidade para cima.
Ponto de inflexão em x=4:
f(4)=6\cdot1^{2/3}=6,
isto é (4,6).

Passo 7

Limites e assíntotas: \lim_{x\to\infty}f(x)\sim x\cdot x^{2/3}=x^{5/3}\to+\infty,; \lim_{x\to-\infty}f(x)\sim x\cdot|x|^{2/3}\to -\infty.
Não há retas assintóticas lineares nem verticais além do comportamento em x=3, onde o gráfico tem cúspide mas \lim f(x)=0.

Resposta

O gráfico de f possui:
– Domínio \mathbb{R}.
– Interceptos em (-2,0), (3,0) e no eixo y em \bigl(0,2\sqrt[3]{9}\bigr).
– Cresce em (-\infty,1), decresce em (1,3), cresce em (3,\infty).
– Máximo local em \bigl(1,3\sqrt[3]{4}\bigr), mínimo local em (3,0).
– Concavidade para baixo até x=4 (exceto cúspide em x=3), para cima para x>4.
– Ponto de inflexão em (4,6).
– Sem assíntotas, \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty.

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