Calcule os limites utilizando L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede calcular
O conteúdo principal aqui é a regra de L’Hospital, que aplicamos quando o limite apresenta indeterminação do tipo
ou
.
Passo 2
Verificamos a forma do limite original. Ao fazer
, temos
e
,
logo o numerador tende a e o denominador
.
Portanto temos a indeterminação .
logo o numerador tende a
Portanto temos a indeterminação
Passo 3
Aplicamos a regra de L’Hospital derivando numerador e denominador:
Assim o limite vira
Passo 4
Verificamos novamente a forma dessa nova expressão quando
:
e
.
Permanecemos com , então aplicamos L’Hospital mais uma vez.
Permanecemos com
Passo 5
Derivamos de novo numerador e denominador:
O limite passa a ser
Passo 6
Agora é só avaliar em
:
,
,
.
O numerador fica e o denominador é
.
Logo o valor do limite é .
O numerador fica
Logo o valor do limite é