Calcule os limites utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-\sin x-1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - \sin x - 1}{x^{2}}.
O conteúdo principal aqui é a regra de L’Hospital, que aplicamos quando o limite apresenta indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Verificamos a forma do limite original. Ao fazer x \to 0, temos
\sin x \to 0 e e^{\sin x} \to e^{0}=1,
logo o numerador tende a 1 - 0 - 1 = 0 e o denominador x^2 \to 0.
Portanto temos a indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hospital derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sin x}-\sin x-1\bigr) = e^{\sin x}\cos x \;-\;\cos x,
\frac{d}{dx}(x^2)=2x.
Assim o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}\cos x - \cos x}{2x}.

Passo 4

Verificamos novamente a forma dessa nova expressão quando x\to0:
e^{\sin x}\cos x - \cos x \to 1\cdot1 - 1 = 0 e 2x \to 0.
Permanecemos com \tfrac{0}{0}, então aplicamos L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Derivamos de novo numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sin x}\cos x - \cos x\bigr) = \frac{d}{dx}(e^{\sin x}\cos x) + \frac{d}{dx}(-\cos x)
\quad= e^{\sin x}\cos x\cdot\cos x + e^{\sin x}\cdot(-\sin x) + \sin x = e^{\sin x}(\cos^2 x - \sin x) + \sin x,
\frac{d}{dx}(2x)=2.
O limite passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}(\cos^2 x - \sin x) + \sin x}{2}.

Passo 6

Agora é só avaliar em x=0:
\cos0=1, \sin0=0, e^{\sin0}=1.
O numerador fica 1\cdot(1-0)+0=1 e o denominador é 2.
Logo o valor do limite é \tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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