QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular o limite
Informações relevantes que temos:
- A expressão é uma razão entre uma combinação de funções e
. - É natural verificar o que acontece ao substituir
diretamente na expressão para ver se é um caso indeterminado:
logo o numerador vale
em
e o denominador também vale
; portanto trata-se de uma forma indeterminada do tipo
.
- O enunciado pede apenas o valor do limite numérico.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática das ferramentas que vamos usar): usar séries de Taylor (expansões em potências de
para
pequeno) para aproximar cada termo até ordem
. Por que isso funciona? Porque, se conseguimos escrever o numerador como uma combinação do tipo
(onde
significa termos que, divididos por
, tendem a
), então ao dividir por
o limite será simplesmente
.
Agora um mini-aula sobre as expansões que vamos usar, com passos e motivos claros.
- Expansão de
em torno de até ordem .
A função
tem derivadas em
facilmente calculáveis:
A fórmula de Taylor até ordem
é
Substituindo os valores:
(Outra forma de ver esse resultado é usar a série binomial para expoente
.)
- Expansão de
em torno de até ordem .
A série de Taylor de
é muito conhecida:
Aqui o termo em
é zero porque
. Se preciso, pode derivar:
,
,
, e aplicar Taylor como acima.
Observação sobre
: significa termos de ordem estritamente maior que
(por exemplo
etc.) que, ao dividir por
, vão para
quando
.
Passo 3
Substituir as expansões no numerador e simplificar passo a passo.
Usando as expansões obtidas:
Então o numerador é
Agora simplificar termo a termo:
- Os
e se cancelam. - O termo
aparece com sinal e com sinal ; esses também se cancelam. - Restam os termos em
e os pequenos :
Calcular a diferença dos coeficientes de
:
Portanto
Passo 4
Dividir pelo
e tomar o limite.
Dividindo a expressão acima por
dá
Pelo significado de
, temos
quando
. Logo o limite é o coeficiente que aparece:
Passo 5
Breve verificação (intuitiva): como o numerador cancelou as ordens
e
, o primeiro termo não nulo na expansão ficou em
com coeficiente
. Isso explica por que o quociente tende a esse número. Se preferir, poderia também aplicar regras de derivação sucessiva (L’Hôpital várias vezes), mas a expansão em série é mais direta e menos propensa a erro algébrico aqui.