QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left((1+x)^{\frac{1}{2}}-\cos (x)-\frac{x}{2}\right)}{x^{2}}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}-\cos(x)-\frac{x}{2}}{x^{2}}\right].
Informações relevantes que temos:
  • A expressão é uma razão entre uma combinação de funções e x^{2}.
  • É natural verificar o que acontece ao substituir x=0 diretamente na expressão para ver se é um caso indeterminado:
(1+0)^{\frac{1}{2}}-\cos(0)-\frac{0}{2}=1-1-0=0,
logo o numerador vale 0 em x=0 e o denominador também vale 0; portanto trata-se de uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0}.
  • O enunciado pede apenas o valor do limite numérico.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática das ferramentas que vamos usar): usar séries de Taylor (expansões em potências de x para x pequeno) para aproximar cada termo até ordem x^{2}. Por que isso funciona? Porque, se conseguimos escrever o numerador como uma combinação do tipo a x^{2}+o(x^{2}) (onde o(x^{2}) significa termos que, divididos por x^{2}, tendem a 0), então ao dividir por x^{2} o limite será simplesmente a.
Agora um mini-aula sobre as expansões que vamos usar, com passos e motivos claros.
  1. Expansão de (1+x)^{1/2} em torno de x=0 até ordem x^{2}.
A função f(x)=(1+x)^{1/2} tem derivadas em 0 facilmente calculáveis:
f(0)=1,\qquad f'(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}\Rightarrow f'(0)=\frac{1}{2},
f''(x)=-\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}\Rightarrow f''(0)=-\frac{1}{4}.
A fórmula de Taylor até ordem x^{2} é
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^{2}+o(x^{2}).
Substituindo os valores:
(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{x}{2}+\frac{-\tfrac{1}{4}}{2}x^{2}+o(x^{2})=1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+o(x^{2}).
(Outra forma de ver esse resultado é usar a série binomial para expoente 1/2.)
  1. Expansão de \cos(x) em torno de x=0 até ordem x^{2}.
A série de Taylor de \cos(x) é muito conhecida:
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
Aqui o termo em x é zero porque \cos'(0)=-\sin(0)=0. Se preciso, pode derivar: \cos(0)=1, \cos'(0)=0, \cos''(0)=-1, e aplicar Taylor como acima.
Observação sobre o(x^{2}): significa termos de ordem estritamente maior que x^{2} (por exemplo x^{3},x^{4} etc.) que, ao dividir por x^{2}, vão para 0 quando x\to0.

Passo 3

Substituir as expansões no numerador e simplificar passo a passo.
Usando as expansões obtidas:
(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+o(x^{2}), \qquad \cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
Então o numerador é
(1+x)^{\frac{1}{2}}-\cos(x)-\frac{x}{2} = \left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+o(x^{2})\right) - \left(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\right) - \frac{x}{2}.
Agora simplificar termo a termo:
  • Os 1 e -1 se cancelam.
  • O termo \dfrac{x}{2} aparece com sinal + e com sinal -\dfrac{x}{2}; esses também se cancelam.
  • Restam os termos em x^{2} e os pequenos o(x^{2}):
(1+x)^{\frac{1}{2}}-\cos(x)-\frac{x}{2} = \left(-\frac{x^{2}}{8}\right) - \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) + o(x^{2}).
Calcular a diferença dos coeficientes de x^{2}:
-\frac{1}{8} -\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8}.
Portanto
(1+x)^{\frac{1}{2}}-\cos(x)-\frac{x}{2} = \frac{3}{8}\,x^{2} + o(x^{2}).

Passo 4

Dividir pelo x^{2} e tomar o limite.
Dividindo a expressão acima por x^{2}
\frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}-\cos(x)-\frac{x}{2}}{x^{2}} = \frac{3}{8} + \frac{o(x^{2})}{x^{2}}.
Pelo significado de o(x^{2}), temos \dfrac{o(x^{2})}{x^{2}}\to 0 quando x\to 0. Logo o limite é o coeficiente que aparece:
\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}-\cos(x)-\frac{x}{2}}{x^{2}}=\frac{3}{8}.

Passo 5

Breve verificação (intuitiva): como o numerador cancelou as ordens x^{0} e x^{1}, o primeiro termo não nulo na expansão ficou em x^{2} com coeficiente \tfrac{3}{8}. Isso explica por que o quociente tende a esse número. Se preferir, poderia também aplicar regras de derivação sucessiva (L’Hôpital várias vezes), mas a expansão em série é mais direta e menos propensa a erro algébrico aqui.

Resposta

\dfrac{3}{8}

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