QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left(\operatorname{sen}(x)-\tan (x)+\frac{x^{3}}{2}\right)}{x^{5}}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\bigl(\operatorname{sen}(x)-\tan(x)+\dfrac{x^{3}}{2}\bigr)}{x^{5}}\right].
Informações dadas:
  • A variável tende para 0.
  • O numerador é \operatorname{sen}(x)-\tan(x)+\dfrac{x^{3}}{2}.
  • Não há outros dados numéricos; precisamos manipular a expressão para obter o comportamento quando x\to0.

Passo 2

Por que não podemos simplesmente substituir x=0? Se substituirmos, \operatorname{sen}(0)=0, \tan(0)=0, e o numerador vira 0-0+0=0, então temos uma forma 0/0. Formas 0/0 exigem analisar termos de ordem mais alta de x (desenvolver em série) para descobrir o comportamento dominante.
Método escolhido: usar séries de Taylor (Maclaurin) para expandir \operatorname{sen}(x) e \tan(x) em potências de x até a ordem necessária (aqui precisamos até x^5). Explico o que é e como usar:
  • A série de Maclaurin de uma função f é uma soma em potências de x centrada em 0: f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n. Para funções elementares conhecidas (sen, cos) há séries padrão.
  • Quando dividimos polinômios formais ou séries (por exemplo \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}), podemos obter os coeficientes por “divisão de séries”: assumimos \tan(x)=a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5+\dots e igualamos coeficientes.
Vou então escrever as séries necessárias e calcular até a ordem x^5.

Passo 3

Série de \operatorname{sen}(x) até x^5. Fórmula conhecida (Maclaurin):
\operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+o(x^{5}),
onde o(x^{5}) significa termos de ordem estritamente maior que x^{5} (que serão negligenciáveis ao dividir por x^5 e tomar limite).
Explanação rápida das parcelas:
  • O termo x vem da derivada de ordem 1 em zero.
  • O termo -\dfrac{x^3}{6} vem da derivada de ordem 3 em zero dividida por 3!.
  • O termo \dfrac{x^5}{120} vem da derivada de ordem 5 dividida por 5!.
    Não precisamos provar a série aqui; basta saber que é padrão e válida perto de 0.

Passo 4

Série de \cos(x) até x^4 (usaremos para obter \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}):
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4}).
Novamente, termos conhecidos da série de Maclaurin.

Passo 5

Agora calculamos a série de \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x} até ordem x^5 por divisão de séries. Suponha
\tan(x)=a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}+o(x^{5}).
Multiplicando pela série de \cos(x) devemos recuperar a série de \sin(x). Ou seja:
\bigl(1-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{4}}{24}+o(x^{4})\bigr)\bigl(a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}+o(x^{5})\bigr) \;=\;x-\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{5}}{120}+o(x^{5}).
Multiplicando e coletando coeficientes até x^5:
  • Coeficiente de x: a_{1}. Deve igualar 1. Logo a_{1}=1.
  • Coeficiente de x^{3}: a_{3}-\tfrac{a_{1}}{2}. Deve igualar -\tfrac{1}{6}.
    Substituindo a_{1}=1:
    a_{3}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{6}\quad\Rightarrow\quad a_{3}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{3}.
  • Coeficiente de x^{5}: a_{5}-\tfrac{a_{3}}{2}+\tfrac{a_{1}}{24}. Deve igualar \tfrac{1}{120}.
    Substituindo a_{1}=1 e a_{3}=\tfrac{1}{3}:
    a_{5}-\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{24}= \tfrac{1}{120}.
    Calcule -\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{24} = -\tfrac{4}{24}+\tfrac{1}{24}=-\tfrac{3}{24}=-\tfrac{1}{8}.
    Então
    a_{5}-\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{120}\quad\Rightarrow\quad a_{5}=\tfrac{1}{120}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{1+15}{120}=\tfrac{16}{120}=\tfrac{2}{15}.
Portanto a série de \tan(x) até x^5 é
\tan(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}+o(x^{5}).

Passo 6

Agora substituímos as séries em \operatorname{sen}(x)-\tan(x)+\dfrac{x^{3}}{2} e simplificamos termo a termo até x^5.
Usando as expansões:
\operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+o(x^{5}),
\tan(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}+o(x^{5}).
Compute o numerador:
\operatorname{sen}(x)-\tan(x)+\frac{x^{3}}{2} = \bigl(x-\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{5}}{120}\bigr) - \bigl(x+\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{2x^{5}}{15}\bigr) +\tfrac{x^{3}}{2} +o(x^{5}).
Agora junte coeficientes por potência:
  • Termos em x: x-x=0 (cancela).
  • Termos em x^{3}: -\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2} multiplicando x^{3}.
    Calcule: -\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{6}-\tfrac{2}{6}+\tfrac{3}{6}=0.
    Então o termo em x^3 também cancela.
  • Termos em x^{5}: \tfrac{1}{120}-\tfrac{2}{15} multiplicando x^{5}.
    Calcule \tfrac{2}{15}=\tfrac{16}{120}, então \tfrac{1}{120}-\tfrac{16}{120}=-\tfrac{15}{120}=-\tfrac{1}{8}.
Logo o numerador é
-\frac{1}{8}x^{5}+o(x^{5}).

Passo 7

Dividindo pelo x^{5} e tomando o limite:
\frac{\operatorname{sen}(x)-\tan(x)+\tfrac{x^{3}}{2}}{x^{5}} = \frac{-\tfrac{1}{8}x^{5}+o(x^{5})}{x^{5}} = -\tfrac{1}{8}+\frac{o(x^{5})}{x^{5}}.
Como \dfrac{o(x^{5})}{x^{5}}\to 0 quando x\to 0, o limite é
-\tfrac{1}{8}.
Interpretando: os termos de ordem x e x^3 se cancelaram exatamente, e o primeiro termo não-nulo restante é de ordem x^5 com coeficiente -\tfrac{1}{8}, que determina o limite.

Passo 8

Comentário final curto (ânimo): ficou longo, mas a ideia-chave é essa — usar séries de Taylor, expandir até a ordem necessária, verificar cancelamentos e ler o coeficiente do termo que sobra. Você está indo bem; esse tipo de limite é típico em provas: quem pratica reconhecer séries e fazer divisão de séries ganha tempo.

Resposta

-\dfrac{1}{8}

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