QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left(\operatorname{sen}(x)-\tan (x)+\frac{x^{3}}{2}\right)}{x^{5}}\right]
O numerador é \operatorname{sen}(x)-\tan(x)+\dfrac{x^{3}}{2}.
Não há outros dados numéricos; precisamos manipular a expressão para obter o comportamento quando x\to0.
Passo 2
Por que não podemos simplesmente substituir x=0? Se substituirmos, \operatorname{sen}(0)=0, \tan(0)=0, e o numerador vira 0-0+0=0, então temos uma forma 0/0. Formas 0/0 exigem analisar termos de ordem mais alta de x (desenvolver em série) para descobrir o comportamento dominante.
Método escolhido: usar séries de Taylor (Maclaurin) para expandir \operatorname{sen}(x) e \tan(x) em potências de x até a ordem necessária (aqui precisamos até x^5). Explico o que é e como usar:
A série de Maclaurin de uma função f é uma soma em potências de x centrada em 0: f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n. Para funções elementares conhecidas (sen, cos) há séries padrão.
Quando dividimos polinômios formais ou séries (por exemplo \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}), podemos obter os coeficientes por “divisão de séries”: assumimos \tan(x)=a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5+\dots e igualamos coeficientes.
Vou então escrever as séries necessárias e calcular até a ordem x^5.
Passo 3
Série de \operatorname{sen}(x) até x^5. Fórmula conhecida (Maclaurin):
Termos em x^{3}: -\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2} multiplicando x^{3}.
Calcule: -\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{6}-\tfrac{2}{6}+\tfrac{3}{6}=0.
Então o termo em x^3 também cancela.
Termos em x^{5}: \tfrac{1}{120}-\tfrac{2}{15} multiplicando x^{5}.
Calcule \tfrac{2}{15}=\tfrac{16}{120}, então \tfrac{1}{120}-\tfrac{16}{120}=-\tfrac{15}{120}=-\tfrac{1}{8}.
Como \dfrac{o(x^{5})}{x^{5}}\to 0 quando x\to 0, o limite é
-\tfrac{1}{8}.
Interpretando: os termos de ordem x e x^3 se cancelaram exatamente, e o primeiro termo não-nulo restante é de ordem x^5 com coeficiente -\tfrac{1}{8}, que determina o limite.
Passo 8
Comentário final curto (ânimo): ficou longo, mas a ideia-chave é essa — usar séries de Taylor, expandir até a ordem necessária, verificar cancelamentos e ler o coeficiente do termo que sobra. Você está indo bem; esse tipo de limite é típico em provas: quem pratica reconhecer séries e fazer divisão de séries ganha tempo.