QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função real
.
Informações dadas: a função é a potência em que a base e o expoente coincidem, ambos iguais a .
Pergunta explícita: para quais valores reais de a expressão
está bem definida como número real?
Informações dadas: a função é a potência em que a base e o expoente coincidem, ambos iguais a
Pergunta explícita: para quais valores reais de
Passo 2
Entender como interpretar
quando
e
são números reais (resumo rápido e necessário para a resolução).
- Potências inteiras: se
é inteiro, é bem definido para todo (com a ressalva de que é indeterminado). - Potências racionais: se
em forma irredutível ( ), então Para que seja real quando é preciso que seja ímpar (raízes ímpares de números negativos são reais; raízes pares não). - Potências reais gerais: para
e define-se onde é o logaritmo natural (definido apenas para ). Essa definição garante um valor real para qualquer quando .
Conclusão prática desta aula-relâmpago: se a base
for positiva,
está definido para todo expoente real
; se a base for negativa, só alguns expoentes racionais com denominador ímpar em forma reduzida dão resultado real.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: quando
.
Se
podemos usar a definição via exponencial e logaritmo:
porque
existe (é real). Logo, para todo
a expressão
está bem definida e é um número real. Exemplos:
,
real.
Passo 4
O que acontece em
?
Aqui teríamos
. Isso é indeterminado: a expressão não é definida de forma consistente como potência real. No entanto, existe o limite
Calculemos o limite interior usando l’Hôpital: escrevemos
Derivando numerador e denominador:
Portanto
Apesar desse limite valer
, a expressão
no ponto
continua indefinida como número real, então
não pertence ao domínio.
Passo 5
Análise para
.
Para
negativo não podemos usar
porque
não é real. Precisamos ver caso a caso quando a potência pode ser interpretada como real via representação racional do expoente.
Escreva
como fração irredutível
com
,
,
. Se
então
é negativo. Considere
. Para avaliar
temos que formar raízes
-ésimas de um número negativo (pois a base
é negativa). A raiz
-ésima de um número negativo é real se e somente se
é ímpar. Portanto:
- Se
está em forma irredutível, ímpar e , então pode ser definido como número real (por exemplo, ; é real). - Se
e a representação racional de em forma reduzida tem denominador par, então é complexo (não real) — por exemplo, dá que é complexo. - Se
e é irracional, então não é um número real bem definido (o resultado envolve raízes não inteiras de números negativos e dá em geral complexos).
Portanto entre os
somente as frações racionais em forma reduzida com denominador ímpar geram
real.
Passo 6
Juntando tudo e dando exemplos práticos.
- Todos os
pertencem ao domínio. Exemplos: , . -
não pertence ( indeterminado ), embora . - Entre
: pertencem aqueles que, em sua forma irredutível , têm ímpar. Exemplos que pertencem: (inteiro, ímpar), (forma reduzida com ímpar). Exemplos que não pertencem: (denominador par), (irracional).