QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
\mathrm{f}(x)=x^{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real \mathrm{f}(x)=x^{x}.
Informações dadas: a função é a potência em que a base e o expoente coincidem, ambos iguais a x.
Pergunta explícita: para quais valores reais de x a expressão x^{x} está bem definida como número real?

Passo 2

Entender como interpretar a^{b} quando a e b são números reais (resumo rápido e necessário para a resolução).
  • Potências inteiras: se b é inteiro, a^{b} é bem definido para todo a (com a ressalva de que 0^0 é indeterminado).
  • Potências racionais: se b=\dfrac{m}{n} em forma irredutível ( n>0), então a^{b}=a^{m/n}=\bigl(a^{1/n}\bigr)^{m}.Para que a^{1/n} seja real quando a<0 é preciso que n seja ímpar (raízes ímpares de números negativos são reais; raízes pares não).
  • Potências reais gerais: para a>0 e b\in\mathbb{R} define-se a^{b}=\exp\bigl(b\ln a\bigr),onde \ln a é o logaritmo natural (definido apenas para a>0). Essa definição garante um valor real para qualquer b quando a>0.
Conclusão prática desta aula-relâmpago: se a base a for positiva, a^{b} está definido para todo expoente real b; se a base for negativa, só alguns expoentes racionais com denominador ímpar em forma reduzida dão resultado real.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: quando x>0.
Se x>0 podemos usar a definição via exponencial e logaritmo:
x^{x}=\exp\bigl(x\ln x\bigr),
porque \ln x existe (é real). Logo, para todo x>0 a expressão x^{x} está bem definida e é um número real. Exemplos: 2^{2}=4, (1/2)^{1/2}=\exp\bigl(\tfrac{1}{2}\ln\tfrac{1}{2}\bigr) real.

Passo 4

O que acontece em x=0?
Aqui teríamos 0^{0}. Isso é indeterminado: a expressão não é definida de forma consistente como potência real. No entanto, existe o limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x}=\lim_{x\to 0^{+}} \exp\bigl(x\ln x\bigr)=\exp\!\left(\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x\right).
Calculemos o limite interior usando l’Hôpital: escrevemos
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}.
Derivando numerador e denominador:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^{2}}=\lim_{x\to 0^{+}}-x=0.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x}=\exp(0)=1.
Apesar desse limite valer 1, a expressão 0^{0} no ponto x=0 continua indefinida como número real, então x=0 não pertence ao domínio.

Passo 5

Análise para x<0.
Para x negativo não podemos usar x^{x}=\exp(x\ln x) porque \ln x não é real. Precisamos ver caso a caso quando a potência pode ser interpretada como real via representação racional do expoente.
Escreva x como fração irredutível x=\dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{N}, \gcd(|p|,q)=1. Se x<0 então p é negativo. Considere x^{x}=\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)^{p/q}. Para avaliar \bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)^{p/q} temos que formar raízes q-ésimas de um número negativo (pois a base \tfrac{p}{q} é negativa). A raiz q-ésima de um número negativo é real se e somente se q é ímpar. Portanto:
  • Se x=\dfrac{p}{q}\in\mathbb{Q} está em forma irredutível, q ímpar e x<0, então x^{x} pode ser definido como número real (por exemplo, x=-1\Rightarrow (-1)^{-1}=-1; x=-\tfrac{1}{3}\Rightarrow (-\tfrac{1}{3})^{-1/3} é real).
  • Se x<0 e a representação racional de x em forma reduzida tem denominador par, então x^{x} é complexo (não real) — por exemplo, x=-\tfrac{1}{2} (-\tfrac{1}{2})^{-1/2}=1/\sqrt{-1/2} que é complexo.
  • Se x<0 e x é irracional, então x^{x} não é um número real bem definido (o resultado envolve raízes não inteiras de números negativos e dá em geral complexos).
Portanto entre os x<0 somente as frações racionais em forma reduzida com denominador ímpar geram x^{x} real.

Passo 6

Juntando tudo e dando exemplos práticos.
  • Todos os x>0 pertencem ao domínio. Exemplos: x=2, x=\tfrac{1}{3}.
  • x=0 não pertence ( 0^{0} indeterminado ), embora \lim_{x\to0^{+}}x^{x}=1.
  • Entre x<0: pertencem aqueles x\in\mathbb{Q} que, em sua forma irredutível x=\dfrac{p}{q}, têm q ímpar. Exemplos que pertencem: x=-1 (inteiro, q=1 ímpar), x=-\dfrac{2}{3} (forma reduzida com q=3 ímpar). Exemplos que não pertencem: x=-\dfrac{1}{2} (denominador 2 par), x=-\sqrt{2} (irracional).

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}: x>0\}\\ \cup\\ \left\{\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}:\\ \gcd(|p|,q)=1,\\ q\\ \text{ímpar},\\ \frac{p}{q}<0\right\}í

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