QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
\mathrm{f}(\beta)=\log _{\mathrm{b}}\left(e^{\beta \times \mathrm{c}}-\mathrm{b}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(\beta)=\log_{b}\!\bigl(e^{\beta c}-b\bigr)
e pede para eu escolher e determinar o domínio de 3 funções dessa forma. Vou escolher três casos naturais para a constante c: (I) c>0, (II) c<0 e (III) c=0. As informações relevantes que temos e que vou usar (retiradas do enunciado) são:
  • A função é uma função logarítmica com base b e argumento e^{\beta c}-b.
  • As incógnitas a determinar são os valores de \beta que tornam f(\beta) bem definida, dependendo de b e c.

Passo 2

Condições que devem valer para que \log_{b}(\cdot) seja uma função real bem definida:
  1. Condição sobre a base b:
b>0\quad\text{e}\quad b\neq1.
Explicação didática curta: o logaritmo com base negativa não é definido no sentido usual de função real, e base 1 não serve porque a função 1^x é constante (não tem inversa), logo \log_1 não existe como função real útil.
2) Condição sobre o argumento:
e^{\beta c}-b>0.
Explicação didática curta: o logaritmo pede argumento estritamente positivo. Portanto, além das restrições na base, precisamos achar todos os \beta que satisfazem essa desigualdade.

Passo 3

Vamos trabalhar a desigualdade do argumento:
e^{\beta c}-b>0\quad\Longleftrightarrow\quad e^{\beta c}>b.
Para manipularmos \,e^{\beta c}>b, precisamos que b>0 (já exigido pela base), porque só assim \ln b está definido em \mathbb{R}. A exponencial t\mapsto e^{t} é estritamente crescente, e o logaritmo natural \ln é sua inversa, portanto aplicar \ln preserva a desigualdade. Há uma dependência crucial do sinal de c ao isolar \beta; por isso tratamos os três casos escolhidos.
Caso (I): c>0.
Aplicando \ln nas duas mãos temos
\beta c>\ln b.
Como c>0 podemos dividir por c sem inverter o sinal:
\beta>\frac{\ln b}{c}.
Portanto, para c>0 (e lembrando b>0,\;b\neq1), o domínio em \beta é
\beta\in\left(\frac{\ln b}{c},\,\infty\right).
Observação didática: se 0<b<1 então \ln b<0 e a fronteira \dfrac{\ln b}{c} é negativa; se b>1 então \ln b>0.
Caso (II): c<0.
Aplicando \ln obtemos novamente \beta c>\ln b. Agora como c<0, ao dividir por c o sentido da desigualdade inverte:
\beta<\frac{\ln b}{c}.
Portanto, para c<0 (e b>0,\;b\neq1), o domínio é
\beta\in\left(-\infty,\,\frac{\ln b}{c}\right).
Observação didática: aqui \dfrac{\ln b}{c} pode ser positivo ou negativo dependendo dos sinais de \ln b e c.
Caso (III): c=0.
Então e^{\beta c}=e^{0}=1 para todo \beta. A condição do argumento fica
1-b>0\quad\Longleftrightarrow\quad b<1.
Combinando com a exigência da base b>0 e b\neq1, obtemos que, quando c=0, a função existe para todas as \beta somente se
0<b<1.
Nesse caso o argumento é a constante positiva 1-b e o domínio é todo \mathbb{R}. Se b\ge1 (ou b\le0, que já excluímos), não existe \beta que torne o argumento positivo, logo o domínio é vazio.

Passo 4

Exemplos numéricos rápidos para fixar (didático):
  • Ex.: b=2,\;c=1 (caso c>0). Então \dfrac{\ln b}{c}=\ln 2 e o domínio é \beta>(\ln 2).
  • Ex.: b=\tfrac{1}{2},\;c=1. Então \dfrac{\ln b}{c}=\ln(\tfrac{1}{2})<0 e o domínio é \beta>\ln(\tfrac{1}{2}) — ainda um intervalo do tipo (\text{algo negativo},\infty).
  • Ex.: b=2,\;c=-1 (caso c<0). Então \dfrac{\ln b}{c}=-\ln 2 e o domínio é \beta<-\ln 2.
  • Ex.: c=0 e b=\tfrac{1}{2}. Então argumento 1-b=\tfrac{1}{2}>0 e o domínio é todo \mathbb{R}.
  • Ex.: c=0 e b=2. Então 1-b=-1\le0 e não há \beta admissível (domínio vazio).

Resposta

Para c>0 (com b>0,\;b\neq1):\quad \beta\in\left(\dfrac{\ln b}{c},\,\infty\right)
Para c<0 (com b>0,\;b\neq1):\quad \beta\in\left(-\infty,\,\dfrac{\ln b}{c}\right)
Para c=0:\quad se 0<b<1 então \beta\in(-\infty,\infty); se b\ge1 então domínio vazio.

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