QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para eu escolher e determinar o domínio de 3 funções dessa forma. Vou escolher três casos naturais para a constante
: (I)
, (II)
e (III)
. As informações relevantes que temos e que vou usar (retiradas do enunciado) são:
- A função é uma função logarítmica com base
e argumento . - As incógnitas a determinar são os valores de
que tornam bem definida, dependendo de e .
Passo 2
Condições que devem valer para que
seja uma função real bem definida:
- Condição sobre a base
:
Explicação didática curta: o logaritmo com base negativa não é definido no sentido usual de função real, e base
não serve porque a função
é constante (não tem inversa), logo
não existe como função real útil.
2) Condição sobre o argumento:
2) Condição sobre o argumento:
Explicação didática curta: o logaritmo pede argumento estritamente positivo. Portanto, além das restrições na base, precisamos achar todos os
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 3
Vamos trabalhar a desigualdade do argumento:
Para manipularmos
, precisamos que
(já exigido pela base), porque só assim
está definido em
. A exponencial
é estritamente crescente, e o logaritmo natural
é sua inversa, portanto aplicar
preserva a desigualdade. Há uma dependência crucial do sinal de
ao isolar
; por isso tratamos os três casos escolhidos.
Caso (I):
.
Aplicando nas duas mãos temos
Aplicando
Como
podemos dividir por
sem inverter o sinal:
Portanto, para
(e lembrando
), o domínio em
é
Observação didática: se
então
e a fronteira
é negativa; se
então
.
Caso (II):
.
Aplicando obtemos novamente
. Agora como
, ao dividir por
o sentido da desigualdade inverte:
Aplicando
Portanto, para
(e
), o domínio é
Observação didática: aqui
pode ser positivo ou negativo dependendo dos sinais de
e
.
Caso (III):
.
Então para todo
. A condição do argumento fica
Então
Combinando com a exigência da base
e
, obtemos que, quando
, a função existe para todas as
somente se
Nesse caso o argumento é a constante positiva
e o domínio é todo
. Se
(ou
, que já excluímos), não existe
que torne o argumento positivo, logo o domínio é vazio.
Passo 4
Exemplos numéricos rápidos para fixar (didático):
- Ex.:
(caso ). Então e o domínio é . - Ex.:
. Então e o domínio é — ainda um intervalo do tipo . - Ex.:
(caso ). Então e o domínio é . - Ex.:
e . Então argumento e o domínio é todo . - Ex.:
e . Então e não há admissível (domínio vazio).
Resposta
Para
(com
):\quad
Para
(com
):\quad
Para
:\quad se
então
; se
então domínio vazio.