QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
f®=\log _{d}\left[\frac{d}{e^{(r-b)}}\right]
f®=\log _{d}\left[\frac{d}{e^{(r-b)}}\right]
Passo 1
O enunciado fornece a função real
.
Vou escolher três interpretações (já que só foi mandada uma expressão): tratar a expressão como função de cada uma das variáveis/parametros, uma por vez. Assim as três funções que vou analisar são:
Vou escolher três interpretações (já que só foi mandada uma expressão): tratar a expressão como função de cada uma das variáveis/parametros, uma por vez. Assim as três funções que vou analisar são:
-
(variável: ; parâmetros: ), -
(variável: ; parâmetros: ), -
(variável: ; parâmetros: ).
O que se pede para cada uma: determinar o domínio da respectiva função (conjunto de valores da variável que tornam a expressão bem definida).
Passo 2
Relembrando as condições gerais para um logaritmo
ser bem definido (aula rápida):
- A base
deve satisfazer e . Isso vem da definição do logaritmo: base positiva diferente de 1 é exigida para que a função log seja bem comportada. - O argumento
do logaritmo deve ser positivo: . Não se pode tomar logaritmo de zero nem de número negativo.
Estas duas condições valem sempre, qualquer que seja a variável que estamos escolhendo.
Passo 3
Primeiro simplificar a expressão dentro do log para ver melhor as dependências:
Assim podemos reescrever
Observação útil:
para todos os
, pois a exponencial nunca é zero nem negativa.
Passo 4
Condições necessárias:
- Base:
e . - Argument positivo:
.
Como
para todo
, o sinal do produto
depende apenas de
. Logo a condição
equivale a
.
Conclusão para
: se
e
(ou seja
), então a condição do argumento é satisfeita para todo
. Portanto o domínio em
é todo o conjunto dos reais sempre que a base
for válida. Caso
ou
, a função NÃO está definida para nenhum
(não há domínio).
Explicando em linguagem de prova: para
temos
para todo
, logo não há restrição sobre
.
Passo 5
Agora
é a variável;
e
são parâmetros fixos (números reais quaisquer).
Condições:
- Base:
e . - Argument:
.
Como
é um número positivo fixo, a desigualdade
é equivalente a
. Assim as duas condições (base e argumento) reduzem-se a:
Em notação de intervalos,
Portanto o domínio em
é exatamente todos os reais positivos exceto
.
Passo 6
Agora
é a variável;
e
são parâmetros.
Condições:
- Base:
e . - Argument:
.
De novo,
para todo
. Assim a condição do argumento fica simplesmente
. Portanto, se
e
então a expressão é válida para todo
. Se
ou
não existe
que torne a expressão bem definida.
Passo 7
- Caso
: a base é inválida (logaritmo de base não existe), mesmo que o argumento seja positivo. Logo nenhum domínio. - Caso
: base inválida e argumento não será positivo; logo nenhum domínio. - Se
e não há qualquer restrição extra sobre ou : eles podem ser quaisquer reais.
Resposta
Domínio em
(função
):
, desde que
.
Domínio em (função
):
.
Domínio em (função
):
, desde que
.
Domínio em
Domínio em