QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
f®=\log _{d}\left[\frac{d}{e^{(r-b)}}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a função real \displaystyle f(r)=\log_{d}\!\left[\frac{d}{e^{(r-b)}}\right].
Vou escolher três interpretações (já que só foi mandada uma expressão): tratar a expressão como função de cada uma das variáveis/parametros, uma por vez. Assim as três funções que vou analisar são:
  • f_1(r)=\log_{d}\!\left[\dfrac{d}{e^{(r-b)}}\right] (variável: r; parâmetros: d,b),
  • f_2(d)=\log_{d}\!\left[\dfrac{d}{e^{(r-b)}}\right] (variável: d; parâmetros: r,b),
  • f_3(b)=\log_{d}\!\left[\dfrac{d}{e^{(r-b)}}\right] (variável: b; parâmetros: d,r).
O que se pede para cada uma: determinar o domínio da respectiva função (conjunto de valores da variável que tornam a expressão bem definida).

Passo 2

Relembrando as condições gerais para um logaritmo \log_{a}(X) ser bem definido (aula rápida):
  • A base a deve satisfazer a>0 e a\neq1. Isso vem da definição do logaritmo: base positiva diferente de 1 é exigida para que a função log seja bem comportada.
  • O argumento X do logaritmo deve ser positivo: X>0. Não se pode tomar logaritmo de zero nem de número negativo.
Estas duas condições valem sempre, qualquer que seja a variável que estamos escolhendo.

Passo 3

Primeiro simplificar a expressão dentro do log para ver melhor as dependências:
\frac{d}{e^{(r-b)}} = d \cdot e^{-(r-b)} = d\cdot e^{b-r}.
Assim podemos reescrever
\log_{d}\!\left[\frac{d}{e^{(r-b)}}\right] = \log_{d}\!\bigl(d\cdot e^{\,b-r}\bigr).
Observação útil: e^{\,b-r}>0 para todos os b,r\in\mathbb{R}, pois a exponencial nunca é zero nem negativa.

Passo 4

Condições necessárias:
  1. Base: d>0 e d\neq1.
  2. Argument positivo: d\cdot e^{\,b-r}>0.
Como e^{\,b-r}>0 para todo r, o sinal do produto d\cdot e^{\,b-r} depende apenas de d. Logo a condição d\cdot e^{\,b-r}>0 equivale a d>0.
Conclusão para r: se d>0 e d\neq1 (ou seja d\in(0,1)\cup(1,\infty)), então a condição do argumento é satisfeita para todo r\in\mathbb{R}. Portanto o domínio em r é todo o conjunto dos reais sempre que a base d for válida. Caso d\le 0 ou d=1, a função NÃO está definida para nenhum r (não há domínio).
Explicando em linguagem de prova: para d>0,d\neq1 temos d\cdot e^{b-r}>0 para todo r, logo não há restrição sobre r.

Passo 5

Agora d é a variável; r e b são parâmetros fixos (números reais quaisquer).
Condições:
  1. Base: d>0 e d\neq1.
  2. Argument: d\cdot e^{\,b-r}>0.
Como e^{\,b-r}>0 é um número positivo fixo, a desigualdade d\cdot e^{\,b-r}>0 é equivalente a d>0. Assim as duas condições (base e argumento) reduzem-se a:
d>0\quad\text{e}\quad d\neq1.
Em notação de intervalos,
d\in(0,1)\cup(1,\infty).
Portanto o domínio em d é exatamente todos os reais positivos exceto 1.

Passo 6

Agora b é a variável; d e r são parâmetros.
Condições:
  1. Base: d>0 e d\neq1.
  2. Argument: d\cdot e^{\,b-r}>0.
De novo, e^{\,b-r}>0 para todo b. Assim a condição do argumento fica simplesmente d>0. Portanto, se d>0 e d\neq1 então a expressão é válida para todo b\in\mathbb{R}. Se d\le0 ou d=1 não existe b que torne a expressão bem definida.

Passo 7

  • Caso d=1: a base é inválida (logaritmo de base 1 não existe), mesmo que o argumento seja positivo. Logo nenhum domínio.
  • Caso d\le 0: base inválida e argumento d\cdot e^{b-r} não será positivo; logo nenhum domínio.
  • Se d>0 e d\neq1 não há qualquer restrição extra sobre r ou b: eles podem ser quaisquer reais.

Resposta

Domínio em r (função f_1): \mathbb{R}, desde que d\in(0,1)\cup(1,\infty).
Domínio em d (função f_2): d\in(0,1)\cup(1,\infty).
Domínio em b (função f_3): \mathbb{R}, desde que d\in(0,1)\cup(1,\infty).

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